Теории портфельного инвестирования и их применение в условиях российского рынка

КЛАССИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ ПОРТФЕЛЬНОГО ИНВЕСТИРОВАНИЯ

    Диверсификация Марковица. Основой подхода к инвестициям с точки зрения современной теории формирования портфеля является работа Гарри Марковица1.
    Согласно теории Марковица для принятия решения о вложении средств инвестору не нужно проводить оценку всех портфелей, а достаточно рассмотреть лишь так называемое эффективное множество портфелей.
    Инвестор выберет свой оптимальный портфель из множества портфелей, каждый из которых обеспечивает:

максимальную ожидаемую доходность для некоторого уровня риска;

минимальный риск для некоторого значения ожидаемой доходности.
    Набор портфелей, удовлетворяющих этим двум условиям, называется эффективным множеством или эффективной границей. Марковиц показал, что на плоскости (s, r-) график эффективного множества имеет вид параболы (рис. 1), и нашел аналитическое выражение этой кривой (здесь s - риск, r- - ожидаемая доходность портфеля).
    Теории Тобина и Шарпа. Следующий шаг сделали Джеймс Тобин2 и Уильям Шарп3. Они развивали подход Марковица в ситуации, когда в экономике существует безрисковый актив с некоторой доходностью rf.
    Тобин показал, что если p = (pi, ..., рn) - некоторый портфель (pi - для i-го актива в портфеле), а f - безрисковый актив, то все портфели вида g = (1 - q)f + qp
    лежат на прямой, проходящей через точки (0, rf) и (sp, r-p). Среди всех таких прямых нужно выбрать самую крутую (более крутая дает бо?льшую доходность при заданном риске p), т.е. ту, которая проходит через точку (0, rf) и точку касания М к эффективной границе (рис. 2).
    Это новая эффективная граница, полученная с учетом безрискового актива. Ее называют рыночной линией (CML, Capital Market Line), а точку М называют рыночным портфелем (market portfolio).
    Смысл термина прояснил Уильям Шарп. Он показал, что этот портфель можно вычислить на основе условия равенства спроса и предложения финансовых активов, рассматривая рынок в полном объеме как совокупность всех инвесторов и всех ценных бумаг (активов). В этом случае доля pi акций типа i в портфеле М просто равна доле всех акций типа i на рынке. Поэтому М и называют рыночным портфелем.
    Модель с одним индексом. Алгоритм Марковица - Тобина дает решение задачи составления оптимального портфеля. Но в ситуации, когда нужно исследовать очень большое количество акций, он нереализуем из-за сложности вычислений (нужно обращать матрицу огромного размера).
    Эдвин Элтон, Мартин Грубер и Манфред Падберг предложили простой и изящный алгоритм вычисления портфеля М в предположении, что набор рассматриваемых активов можно описать моделью с одним индексом.
    В моделях с одним индексом рассматривается рыночный индекс I, характеризующий поведение фондового рынка в целом. На Западе очень популярен индекс Доу-Джонса, на нашем фондовом рынке - индекс РТС.
    Для рассматриваемого (базового) индекса I вводится естественное понятие доходности ri = (F1 - F0)/F0, где F0 - значение индекса в начале исследуемого периода;
    F1 - значение индекса в конце рассматриваемого периода. Доходность ri ведет себя как случайная величина с определенным средним r-I и дисперсией sr2. Базовая доходность rI каким-то образом связана с доходностями финансовых активов ri, что измеряется ковариациями sil.
    В рамках модели с одним индексом предполагается, что доходности ri рассматриваемых активов представляются в виде

    ri = ai + biri + xi, (1)
    где bi = sil/sr2 - коэффициент наклона; (2)
    ai = r-i - birI - коэффициент смещения; (3)
    xi = ri - ai - biri - (4)

случайные погрешности, удовлетворяющие следующим трем условиям:

    Mxi = 0, (5)
    Cov(xi, ri) = 0, (6)
    Mxixj = 0 при i ? j. (7)

    Следует подчеркнуть, что условия (5) и (6) - следствие выбора коэффициентов (2) и (3), а условие (7) - априорное допущение, которое нуждается в проверке в каждой конкретной рыночной ситуации.
    Арбитражная теория портфеля. Алгоритмы Элтона - Грубера - Падберга и Марковица реализуют общий под-ход - при заданном уровне ожидаемой доходности минимизировать риск. Стефан Росс в 1976 г. разработал другой подход к управлению портфелем. Его теория, известная как теория арбитражного ценообразования (APT, Arbitrage Pricing Theory), в некотором смысле менее сложна, чем рыночная теория Шарпа. В ее основе лежит предположение о том, что каждый инвестор стремится увеличить доходность своего портфеля, не увеличивая при этом возможный риск. Для достижения этой цели инвестор составляет арбитражный портфель. При формировании арбитражного портфеля используется модель с одним индексом.
    Арбитражным портфелем называют любой портфель A = (A1, A2, ..., An) с условиями

    Si Ai = 0, (8)
    bA = Cov(rA, rI) = Si Aibi = 0, (9)
    r-A = Si Ai r-i > 0. (10)

Условие (8) означает, что для составления портфеля A не требуется дополнительных ресурсов. Условие (9) означает, что арбитражный портфель не чувствителен к базовому фактору. Условие (10) означает, что ожидается положительная доходность портфеля A.
Арбитражный портфель формируется таким образом, чтобы его риск был существенно меньше риска текущего портфеля. Еще предпочтительнее, чтобы риск арбитражного портфеля был близок к нулю:

sA2 = DrA = 0. (11)

Допустим, что у нас есть старый (текущий) портфель p = (p1, p2, ..., pn) и мы сформировали некоторый арбитражный портфель A с условиями (8-11).
Тогда мы строим новый текущий портфель:

q = p + A = (q1, q2, ..., qn) с компонентами qi = pi + Ai, i = 1, ..., n.

Ожидаемая доходность этого портфеля равна

r-q = r-p + r-A.

В силу свойства (10) она выше ожидаемой доходности старого портфеля p.
Риск нового портфеля остался на прежнем уровне:

sq = sp.

Последнее следует из известного неравенства sp - sA < sq < sp + sA и условия (11).

    Такова суть подхода к управлению портфелем на основе арбитражной теории ценообразования.
    Мы охарактеризовали основные классические теории портфельного инвестирования.
    В следующем номере будут описаны результаты экспериментальных исследований по оценке применения этих теорий в условиях российского фондового рынка.

(Окончание следует.)