rij = Сij - Ci-1,j,
    где Сij - случайная величина, курсовая стои-мость актива j в момент времени i.

    Так как rij - случайная величина, то обозначим через mij ее математи-ческое ожидание, а через s2ij - дисперсию.
    Определим через r2ij = m2ij/s2ij показатель качества элементарного процесса инвестирования. Очевидно, что чем больше прибыль и/или меньше риск, тем больше определенный таким образом показатель качества. Кроме того, показатель качества не зависит от умножения прибыли на константу. В технике введенный критерий оптимизации называется отношением сигнал/помеха + шум.
    Введем также факторную модель прибыли

    rij = aj + b1jf1i + ... + bkjfki + eij,
    где aj - прибыль/убыток (сигнал) актива j (mj = aj); bj - чувствительность актива j к общему фактору; fi - общий (систематический) фактор (помеха) в момент времени i; К - количество общих факторов (помех); eij - специфический фактор (шум), не связанный с общим фактором.

    Факторная модель прибыли будет использована для интерпретации результатов оптимизации.

    Совокупная чистая прибыль (убыток) портфеля активов имеет вид

    r = Sj=1J rjxj,
    где rj = Сj(Т) - Сj(0) - случайная величина, чистая прибыль (убыток) по активу j
    (j = 1, ..., J) за период инвестирования от 0 до Т; xj - количество актива вида j; J - число видов активов.

    Количество актива xj вида j может принимать отрицательное значение, что означает продажу этого актива. Таким образом, под портфелем активов понимается совокупность как купленных, так и проданных активов.
    В матричном виде:

    r =XTR,
    где RT = (r1, ..., rJ); XT = (x1, ..., xJ); Т - символ транспонирования.

    Математическое ожидание и дисперсия совокупной прибыли будут равны соответственно

    m = XTMJ, s2 = XTKJX,
    где MTJ = (m1, ..., mJ), а KJ - ковариационная матрица чистых прибылей для различных видов активов.

    Максимизируя показатель качества

    r2max = r2(Xoпт) = maxx r2 =
    = maxx (m2/s2),

    найдем решение задачи оптимизации для портфеля активов

    Xопт = (m/r2max)K-1J MJ,
    r2max = MTJK-1J MJ.

    Для интерпретации результатов оптимизации портфеля активов рассмотрим частные случаи.
    Пусть в факторной модели прибыли общий фактор (риск) отсутствует, а изменчивость прибыли обусловлена только изменчивостью специфического фактора (риска). В этом случае корреляция чистых прибылей актив-ов равна 0 и ковариационная матрица KJ принимает диагональный вид. Этому случаю соответствует следующая структура оптимального портфеля активов:

    XTопт =(r21/m1, ..., r2j/mj, ..., r2J/mJ) x
    x m/r2max,
    r2max = r21 + ... + r2j + ... + r2J.

    Из последнего выражения следует, что показатель качества портфеля увеличивается с увеличением числа активов в нем (принцип диверсификации), причем, для того чтобы увеличение качества происходило наиболее быстрыми темпами (оптимальная диверсификация), в портфель необходимо включать с соответствующим весом активы с наибольшими индивидуальными показателями качества, которое и определяет вклад активов в качество портфеля активов.
    Предположим теперь, что специфический риск отсутствует, а изменчивость прибыли определяется только изменчивостью общих факторов.
    Если K < J, ковариационная матрица становится вырожденной и оптимальное решение приводит к безрисковой прибыли (убытку) за счет уничтожения влияния общего риска.
    Почти безрисковая прибыль возникает при проведении таких финансовых операций, как арбитраж, спрэд, хедж, ряда других. И хотя при проведении этих операций преследуют различные экономические интересы, все они представляют собой портфель из двух активов, один из которых продается, а другой покупается. Предлагаемый подход к оптимизации портфеля активов позволяет с единых позиций рассмотреть и оптимизировать различные виды финансовых операций, а применительно к операциям хеджирования [3] дает возможность осуществить оптимальное управление валютными и процентными рисками.
    Если количество общих факторов в факторной модели равно K, то количество видов активов в портфеле, необходимое для уничтожения влияния общего риска на прибыль портфеля, должно быть равно или больше (K + 1).
    Суммируя вышеизложенное, можно утверждать, что качество оптимального портфеля активов увеличивается с увеличением числа активов в нем. Причем поначалу это увеличение идет относительно медленно, однако с превышением некоторого числа активов, позволяющих нейтрализовать действие общих факторов, качество увеличивается более быстрыми темпами.
    Все сказанное справедливо только для оптимального портфеля. Качество неоптимального портфеля может и уменьшаться с увеличением числа активов в нем.

    Для заданного вида актива совокупная чистая прибыль (убыток) r за период инвестирования от 0 до Т примет вид

12r = Si=1I riyi, ri = Сi - Ci-1,3
    где yi - количество актива в интервале времени от i-1 до i; I - число интервалов времени, I = T/t; t - интервал дискретизации курсовой стоимости.

В матричном виде:

r = RY, где R = (r1, ..., rI); YT = (y1, ..., yI).

Математическое ожидание и дисперсия будут равны соответственно

    m = MIY, s2 = YTKIY,
    где MI = (m1, ..., mI); KI - ковариационная матрица стационарного процесса (теплицева матрица).

    Решение задачи оптимизации имеет вид

    Yопт = (m/r2max)K-1I MI,
    r2max = MTIK-1I MI.

    Предположим, что специфический риск представляет собой белый шум с дисперсией, равной s2e. В этом случае ковариационная матрица KI принимает диагональный вид с одним и тем же значением дисперсии s2e на главной диагонали и оптимальное решение будет следующим:

    YТопт = (m1, ..., mi, ..., mI)m/Si=1I m2i,
    r2max = (1/s2e)Si=1I m2i.

    Поскольку для стационарного процесса все mi одинаковы, то это означает покупку (продажу) актива в момент времени 0 по цене С0, последующее его хранение и продажу (покупку) актива в конце инвестиционного периода по цене СI.
    В соответствии с терминологией, принятой в работе [2], такая стратегия называется пассивной инвестиционной стратегией. Из приведенного выше результата следует, что пассивная стратегия оптимальна в случае постоянства прибыли (убытка) во времени, курсовая стоимость при этом возрастает или убывает линейно.
    Во всех остальных случаях оптимальная стратегия приводит к необходимости проведения операций купли/продажи актива с соответствующим весом в различные моменты времени внутри инвестиционного периода. Такие стратегии называются активными инвестиционными стратегиями.
    Таким образом, результаты по оптимизации динамических стратегий согласуются с качественными рассуждениями о динамических стратегиях, рассмотренными в работе [2], и подтверждаются приведенным здесь формальным количественным анализом.
    При теоретическом исследовании проблемы оптимального размещения капитала задача формирования оптимального портфеля активов рассматривалась независимо от задачи определения оптимальной динамической стратегии. Решение проблемы размещения капитала в общем виде, т.е. при одновременной оптимизации как по видам активов, так и во времени, формально ничем не отличается от решения задачи оптимизации портфеля активов или задачи оптимизации динамической стратегии.

    Для исследования характеристик оптимального (по активам) портфеля использовались данные о ежедневных котировках акций 34 американских компаний с 1 сентября 1995 г. по 26 января 1996 г. Объем выборки составил 100 торговых дней.
    Расчеты характеристик оптимального портфеля, состоящего из 34 акций, проводились с использованием программного обеспечения, разработанного в финансовом центре <Монетный двор>.
    На рис. 1-3 приведены соответственно выборочные качество r, доходность m и риск s оптимального портфеля (1 на оси Х) и исходных акций (2-35). Качество определялось в относительных единицах, а доходность и риск в годовых.
    На рис. 4 изображено распределение по акциям долей капитала, которые надо разместить в те или иные акции, чтобы сформировать оптимальный портфель. Отрицательные значения долей капитала указывают на необходимость проведения операции типа short sale. Капитал, приходящийся на оптимальный портфель (1 на оси Х), принят равным 1.
    Изменение во времени текущей доходности оптимального портфеля (розовая кривая) на фоне текущей доходности нескольких акций из совокупности акций, составляющих оптимальный портфель, иллюстрирует рис. 5. В нулевой момент времени все доходности приведены к нулю. Под последовательностью моментов времени понимается последовательность торговых дней.
    Результаты экспериментальных исследований характеристик оптимального портфеля свидетельствуют о высокой эффективности предлагаемого метода формирования оптимального портфеля.

    Предлагаемая модель оптимизации портфеля регулярно котируемых активов концептуально ясна и легко реализуема, так как не требует построения эффективного множества портфелей, а также введения гипотез об инвестиционных предпочтениях инвесторов (кривых безразличия) и о наличии на рынке безрисковых ценных бумаг.
    Вследствие такого упрощения возможно решение проблемы размещения капитала как в различные виды активов, так и в различные моменты времени оптимальным образом. Задача оптимизации динамической стратегии впервые сформулирована и решена.
    Оптимальный портфель, получаемый при оптимальном размещении капитала по активам, включает в себя как частный случай оптимальные диверсифицированный и арбитражный портфели.
    Реальным становится автоматическое формирование из заданного множества активов оптимального портфеля, состоящего из меньшего числа активов, что невозможно при использовании классической модели ввиду отсутствия критерия сравнения портфелей, состоящих из разного набора активов.
    Естественным образом в рамках данной модели оптимизации вводится и модель рыночного равновесия.
    Будем считать, что рыночное равновесие устанавливается при достижении минимума показателя качества r2max(a) оптимального портфеля по сигналу m = a при условии его ограничения по энергии.
    Можно показать, что направление сигнала m = а при условии рыночного равновесия будет совпадать с направлением максимального риска (направление максимальной помехи + шума). Так, например, если специфические факторы отсутствуют, а общий фактор единственный, то направление сигнала при равновесии будет совпадать с направлением общего фактора.
    Такой подход к определению рыночного равновесия обобщает подходы, используемые как в модели оценки капитальных активов (CAPM), так и в модели арбитражного ценообразования (APT).