Программный пакет FuziCalc относится к хорошо известному классу программ - электронным таблицам - и предназначен для хранения данных и их обработки, а также для выполнения простых расчетов и оценок. Основанный на нетрадиционных принципах (многозначной логике) и ориентированный на широкий круг пользователей, не искушенных в современной математике и программировании, пакет абсолютно уникален, так как позволяет работать с нечетко определенными данными очень просто, как с обычными числами.
    Остается только сожалеть, что программа пока известна только узкому кругу специалистов. Она позволяет хранить в ячейках таблицы не только числа, но и образы нечетких множеств, некоторые распределения чисел, легко вводимые с помощью всплывающих окон. Оперировать с этими <нечеткими монстрами> можно так же, как с обычными числами, - складывая, вычитая и умножая ячейки таблицы друг на друга или на числа. Есть возможность вычисления функции от ячеек, подобно тому, как это делается с числами в традиционных популярных электронных таблицах - Excel или Quattro.
    Программа FuziCalc (версия 1.51, FuziWare Inc., год рождения - 1995-й) была предоставлена редакции для знакомства с компанией <ТОРА-Центр> (http://www.tora.ru, (095) 220-35-56, 931-73-52).

    В окружающем нас мире очень редко приходится сталкиваться с задачами, лишенными какого-либо элемента неопределенности. Управленческое решение практически всегда приходится принимать в условиях неполной информации. Британский экономист Г. Шакл пишет: <В предопределенном мире решение было бы иллюзорным, в абсолютно предугадываемом мире - пустым, в мире без естественного порядка - бессильным. Наше интуитивное представление о жизни предполагает неиллюзорное, непустое и небессильное решение: Поскольку в этом смысле решение исключает как абсолютное предсказание, так и абсолютную случайность в природе, решение следует определить как выбор в условиях ограниченной неопределенности>. Эта цитата, на мой взгляд, хорошо отражает критическую, судьбоносную важность неопределенности в делах человека.
    Завидую физикам. Они раньше и глубже специалистов других естественно-научных областей разобрались с природой неопределенности физических явлений. Они поняли, что не все можно списать на ошибку эксперимента, что зачастую неопределенность неустранима, является неотъемлемой частью явления и внутренне ему присуща.
    Ну, а какова природа неопределенности финансовых данных? Неопределенность возникает, как правило, из-за дефицита информации, имеющей отношение к решаемой задаче. Это может быть неполная, фрагментарная, не полностью надежная или противоречивая информация. Такой тип неопределенности наиболее близок к элементарным ошибкам физического эксперимента и принципиально устраним. Допустим, что в результате отыскания новой информации или исключения фрагмента ошибки неопределенность уменьшилась. Тогда количество полученной или исключенной в результате этого действия информации может быть принято за изменение неопределенности. Таким образом, мы приходим к выводу, что, например, информационная энтропия Шеннона или Хартли, а также одна из более поздних обобщенных мер информации может быть использована для измерения неопределенности.
    Однако не любая финансовая неопределенность может быть устранена в результате получения новой информации. Взять хотя бы остаточную стоимость бизнеса, представляющую собой учтенный собственный капитал компании (балансовая стоимость), которая через какое-то время имеет мало общего с обоснованной рыночной стоимостью. Реальная стоимость таких активов, как земля, сооружения, природные ресурсы и технологии, остается неучтенной, пока эти активы не продадут. Сравнительные данные являются важной частью финансового анализа, поскольку помогают вынести суждение о работе одной компании по сравнению с другими. Все такие суждения опираются на стандарты и представления аналитика и, следовательно, субъективны. В конце концов, любой прогноз развития экономической структуры содержит массу таких неопределенностей потому, что внутри самой структуры содержится собственный источник нестабильности - денежно-конкурентные связи между субъектами и объектами рынка.
    Наконец, экономические явления слишком сложны, складываются из огромного числа отдельных фактов и явлений. В ряде случаев просто невыгодно вытравлять <излишнюю> (принципиально устранимую) неопределенность и приводить систему к почти бесконечно большому числу <примитивов>, так как за деревьями можно не увидеть леса.
    Сознательное принятие решения в условиях ограниченной неопределенности, во всей его сложности, часто неизбежно для человека. Программа FuziCalc, предназначенная для проведения простых оценочных расчетов с нечетко определенными данными, как раз и призвана облегчить жизнь в реальном мире.

    Поскольку идеология работы с нечеткими величинами не является хрестоматийной, прежде чем познакомиться с самим пакетом, необходимо сказать хотя бы несколько слов о тех принципах, на которых он построен.
    Всем нам свойственно давать простые, хотя бы по форме, ответы на любые самые сложные вопросы. Но факт остается фактом: в своей массе мы чувствуем себя комфортнее, облекая величины и понятия реального мира в обычную числовую форму и описывая взаимоотношения между ними однозначными функциями. При этом при развитии любого процесса всегда имеется только одна возможность, все величины имеют детерминистский характер.
    С середины 60-х годов, после разработки Л. Заде теории нечетких множеств, было предложено несколько теорий, позволяющих формализовать неопределенность. Эта область знания в настоящее время интенсивно развивается. Естественной и простейшей альтернативой числу является соотнесение некоторому финансовому понятию x не одного численного значения, а функции rx(u), представляющей собой распределение нечеткости величины x (рис. 1, a) и также называемой функцией принадлежности. Второе название происходит оттого, что нечеткую величину x можно интерпретировать как нечеткое множество X. Происхождение второго названия связано с возможностью интерпретации нечеткой величины х как нечеткого множества Х. Функция rx(u) есть мера того, что значение величины x находится вблизи u. Функция может быть как детерминированной взаимоодно-значной функцией, так и более сложной конструкцией. В первом случае это может быть также функция плотности вероятности fx(u), причем интеграл этой функции по области всех возможных значений равен 1. Через распределения нечеткости величин, зависящих от времени, можно проводить линии тренда (рис. 1, б), вводить нечеткие функции.
    Подобно обычным числам, с распределениями нечеткости можно вести и производить определенные операции, например складывать и умножать. В принципе, можно построить непротиворечивую алгебру нечетких распределений. С математической точки зрения некоторое неудобство доставляет тот факт, что практически все операции можно ввести неоднозначным образом. Вам как финансисту эта неопределенность все время будет доставлять беспокойство. Особенно, если вы четко сознаете, что пакет основан на принципах, интенсивно развиваемых в настоящее время и еще не ставших общепринятыми.
    И все же не современность идей, не корректность ведения операций, не красота и изящество используемых математических конструкций, а соответствие использованных в FuziCalc нечетких операций суровой прозе финансовых будней, соответствие результатов расчетов реальности - вот тот вопрос, который вас интересует. Более того, смею думать, что вы справедливо предпочли бы простое и надежное средство для расчетов любому математическому изяществу. Однако, надеюсь, вы поймете, что эти опасения не так уж и страшны, если только не ждать от FuziCalc слишком многого, а относиться к ней как к простому рабочему средству для грубых оценок.
    Оба подхода - нечеткий и вероятностный - служат для отражения объективных стохастических закономерностей в реальном мире, более четко проявляющихся в результате накопления статистической информации. Следует отметить, что хотя в быту мы интуитивно смешиваем понятия <нечеткость> и <вероятность>, с математической точки зрения это принципиально разные вещи. Функция распределения нечеткости может быть значительно более сложным объектом, чем распределение вероятности. И все же в специальной литературе не угасает дискуссия, содержит ли идеология нечетких множеств и многозначной логики что-нибудь принципиально новое, может ли она в окружающем мире объяснить что-то абсолютно невозможное в рамках классической теории вероятностей.

    Предлагаемый пакет не русифицирован, поэтому придет-ся пользоваться английским. И это, по-моему, хорошо. Дело в том, что при переводе на русский в рамках принятой строгой технической терминологии теряется образное начало слов, многозначность смыслов. <Нечеткий мир> звучит красиво, но Fuzzy World - лучше. Fuzzy означает не только нечеткий, расплывчатый, неясный, неопределенный. Его основное значение в обычном языке - пушистый, ворсистый. Это типичное определение для любимого домашнего зверя или плюшевой игрушки.
    В противоположность нечетким числам используются обычные, четкие числа, или crisp, т.е. не только ясно очерченный, четкий, но и твердый, жесткий, решительный, рассыпчатый, хрустящий. И каждый раз, когда описывается задача с помощью обычных чисел или преобразовывается нечеткое распределение в число, сам язык напоминает, что это делает его хрупким, ранимым, как бы убивает живое начало в мире. Кстати, еще одно из значений crisp - свежий, бодрящий, живительный (главным образом при определении воздуха). Такова диалектика.

    Пакет FuziCalc основан на принципах нечеткой логики. Понятие нечеткой логики обычно используется в двух смыслах - узком и широком. В узком смысле - это просто некоторая нетрадиционная множественная логика. В более широком смысле нечеткая логика воспринимается как квазисиноним теории нечетких множеств, оперирующих сложными объектами с размытыми границами. Здесь вопрос о принадлежности к множеству - вопрос степени принадлежности.
    Вынесенные в подзаголовок понятия, кроме всего прочего, не могут быть основанием для привлечения внимания к пакету, основанному на принципах нечеткой логики. В конце концов, к любому интерфейсу можно со временем притерпеться, можно установить требуемую операционную систему, была бы только сама программа, решающая жизненно необходимые задачи. Однако, если неопределенности и постоянный дефицит необходимой информации все-таки иногда беспокоят, возможно, вам будет приятно узнать, что технические требования программы FuziCalc минимальны. Эта программа была задумана как продукт массового повседневного спроса, почти как карманный калькулятор. Если у вас есть персональный компьютер, это скорее всего означает, что вы не только имеете все необходимое для использования программы, но и уже умеете с ней работать чисто технически.
    Программа FuziCalc, рассчитанная на исполнение в среде Windows 3.11, прекрасно работает и в Windows 95, и в Windows NT.
    Даже если вы еще только начинающий пользователь, вероятно, вам уже вкратце знакома электронная таблица Excel. При беглом взгляде FuziCalc очень похож на него: такой же белый фон, разбитый на клетки, серые полоски слева и сверху, нумерующие строки таблицы цифрами, а колонки - буквами; сверху - строчка с выпадающими опциями меню, только вариантов меню несколько меньше. Выбор ячеек мышью и адресация - относительная (C7, M21), абсолютная ($C$7, $M$21) и смешанная ($C7, M$21) - все это уже вам, думаю, знакомо. Кнопок на сером фоне, обеспечивающих ускоренный доступ к различным функциям меню, как и самих соответствующих функций, заметно меньше, чем в таблице-эталоне. Ну, а если вы не знакомы с Excel и у вас нет друга, к которому вы можете зайти, чтобы взглянуть на классическую электронную таблицу, общее представление об интерфейсе вы можете получить, взглянув на последний рисунок, где разбирается задача-пример.
    Пожалуй, единственное отличие интерфейса, сразу бросающееся в глаза, - значительно больше пустого места между верхней строчкой меню и полем таблицы. В правой части <пустыря> находится графическое поле, в котором всегда (независимо от вашего желания) отображается распределение нечеткости активной ячейки таблицы. Если же активной является ячейка с обычным числом или логическим значением - ничего не отображается.
    Вообще следует отметить ориентированность интерфейса на графическое представление нечеткой информации. Дважды щелкнув левой клавишей мыши по ячейке с нечетким числом (такие ячейки слева помечены серым полутоновым треугольником-стрелкой), вы вызовете большее по размеру, чем поле для представления распределений по умолчанию, графическое окно. В нем вы можете увидеть детали распределения нечеткости, узнать численные значения, характеризующие опорные точки распределения. Если активно первичное, а не расчетное распределение, то вы можете модифицировать его простой протяжкой опорных точек с помощью мыши или путем введения уточненных значений в всплывающих окнах ввода, вызываемых щелчком левой клавиши мыши по опорной точке при одновременно нажатой клавише смены регистра на клавиатуре. Впрочем, при всей технической простоте модификации распределений, я бы не рекомендовал злоупотреблять этими возможностями пакета.
    Вы можете импортировать данные из других электронных таблиц в SYLK-формате. Для этого надо предварительно создать файл в формате символических связей. Вы можете экспортировать файл из своего табличного процессора Excel или Quattro (последовательно выбрав пункты File, Save As: и выбрав тип файла SYLK - symbolic link). Небольшие файлы с простыми формулами втягиваются без проблем, но если взять файлы побольше, можно встретиться с ситуацией, когда кто-то из конверторов - экспортер или импортер - <глючит>, так что будьте внимательны. Впрочем, SYLK-импортер - это скорее игрушка, так как таблицы, ориентированные на представление нечетких данных, вам все равно придется создавать с нуля. А вот перенести уже готовые формулы, чтобы просто не ошибиться при их наборе, импортер, безусловно, поможет.
    FuziCalc поддерживает принятый в Windows стандарт динамического обмена данными (dynamic data exchange, DDE), так что вы можете вообще ничего никуда не импортировать, а просто связать документ FuziCalc с одним или несколькими Windows-приложениями и черпать исходные данные для нечеткого анализа непосредственно из, скажем, Microsoft Excel, Lotus 1-2-3 for Windows или Borland QuattroPro for Windows.
    Обычные же численные данные вы можете легко вставить, просто открыв текстовый файл (File, Open:), или перенести непосредственно из электронных таблиц или таблиц текстовых процессоров через буфер стандартным для Windows образом.

    Посмотрим, действительно ли все так просто, как я расписываю. Откроем FuziCalc и введем какое-нибудь распределение.
    Быстрый старт
    Дважды щелкните левой клавишей мыши по пустой ячейке (тот же результат вы получите посредством меню: Fuzzy, Fuzzify:), и перед вами всплывет окно с тремя полями ввода (вставка на рис. 2), вставьте опорные значения - наименьшее, оптимальное и наибольшее - в соответствии со своими представлениями о пределах изменения интересующей вас величины. Если вы еще не успели изменить начальные установки пакета, получите треугольное распределение, подобное изображенному на рис. 2 графику ожидаемой доходности.
    Это все. Ввести распределение очень просто. Теперь вы можете забыть о распределении и обращаться с ним почти как с обычным числом, только время от времени поглядывая на графики распределения зависимых величин, полученных в результате вычислений. Придать же распределению привычный четкий смысл, преобразовав его в число, и того проще - активируйте нужную ячейку и щелкните левой клавишей мыши по кнопке <очетчивания> с характерной одиночной вертикальной линией вместо распределения или выберите пункт меню Edit, Crisp.
    Однако, чтобы финиш получился не менее стремительным, чем старт, и результаты расчетов не обманули ваших ожиданий, необходимо составить себе относительно четкое представление о следующем: что можно делать с распределениями нечеткости, действительно ли с распределениями можно работать так же просто, как с простыми числами?
    Строим таблицу умножения, или Учимся нечеткой интуиции
    С чисто технической точки зрения провести вычисления - не проблема, но вот будут ли результаты расчетов соответствовать реальности? Да и что это собственно такое - соответствие реальности? Боюсь, эти вопросы будут всегда волновать читателя. Взявшись объяснять мир с учетом его нечеткости, давайте рассмотрим что-нибудь попроще, например результат простых арифметических операций над распределениями.
    Вы можете выбирать желаемый шаблон, заготовку функции распределения каждый раз после введения опорных значений перед их принятием, щелкнув в окне ввода по кнопке <Галерея> (Gallery), или выбрать шаблон <раз и навсегда> посредством меню (Options, Preferences, Fuzzification:). Предоставляемые программой заготовки распределений показаны на рис. 3.
    Подписанные сверху значения опорных точек могут пригодиться при составлении собственных функций, например, чтобы определить соответствие между площадью и шириной распределения-шаблона. Естественно, все распределения можно произвольно масштабировать - относительные положения опорных точек не изменятся. Все распределения, кроме крайнего левого, треугольного, симметричны, поэтому совершенно безразлично, какое значение вы введете в качестве оптимального. В его качестве программа сама выберет полусумму максимального и минимального значения.
    Так что, если асимметрия исходного распределения для вас принципиальна, пользуйтесь асимметричным треугольным распределением. Дополнительные опорные точки можно ввести, дважды щелкнув левой клавишей мыши в каком-либо месте кривой распределения, и модифицировать его форму, <потаскав> опорные точки мышью, но о <прелестях>> такой модификации чуть ниже.
    На рис. 4 в первой колонке представлены некоторые простые распределения нечеткости, во второй и третьей колонках - рассчитанные пакетом FuziCalc распределения для суммы и произведения исходных значений. Взгляните на таблицу сложения и умножения двух распределений и проверьте свою интуицию.
    Я уже отмечал, что наиболее принципиальный вопрос, который будет вас волновать, как будут соответствовать результаты расчетов самой реальности. Но где взять критерий истинности хотя бы для простых арифметических операций? В качестве <эталона истины> можно использовать соответствие рассчитанных FuziCalc распределений соответствующим расчетным вероятностным распределениям. Ограничимся трактовкой неопределенности как элементарным отсутствием принципиально доступной и точной информации. В случае независимых вероятностных распределений элемент вероятности результирующего распределения определяется произведением вероятностей независимых событий, и для расчета результирующего распределения необходимо просто взять интеграл по всем возможным состояниям:

    rx+y(z)= т rx(z - y)ry(y)dy = т rx(x)ry(z - x)dx, (1)
    rxy(z)= т rx(z/y)ry(y)dy = т rx(x)ry(z/x)dx.

    Наглядно аппроксимировать эти функции распределения можно как суммы и произведения случайных пар чисел из двух исходных массивов, каждый из которых характеризуется функциями плотности вероятности, пропорциональными соответствующим распределениям нечеткости. При некоторой ограниченности такого подхода он соответствует простейшим <интуитивным> ожиданиям и, по всей вероятности, не так уж плох для определения детерминистической функции от принципиально доступных ему независимых величин.
    В соответствии со сказанным исходные величины A и B моделировались как упорядоченные, монотонно возрастающие массивы чисел, разность между двумя соседними числами обратно пропорциональна величине функции распределения в средней точке. При этом гистограммы распределений A и B идеально огибаются представленными в первой колонке рис. 4 функциями нечеткости. Гистограммы распределений A + B и AB неповторяющихся случайных пар чисел, названные интуитивными ожиданиями, представлены в четвертой и пятой колонке соответственно; каждая гистограмма характеризует множество из примерно 100000 пар чисел.
    А теперь сравним рассчитанные FuziCalc распределения и гистограммы (рис. 4). Очевидно, первые четыре строки таблицы демонстрируют согласие, которое, я думаю, вполне можно назвать идеальным. <Идеальность> особенно хорошо проявляется для колоколообразных распределений (первые две строки). На трапециевидных распределениях (3-я и 4-я строчки) более отчетливо видно, что ломаные линии нечетких расчетных распределений несколько огрубляют более плавные контуры гистограмм, но такое приближение вполне естественно. Описывая исходные распределения ломаными прямыми, мы заранее знаем, что в угоду простоте слегка жертвуем точностью. Согласие наблюдается и для других распределений, если обе величины относятся к одному типу.
    Курите сигареты Camel. В противном случае будьте бдительны
    Взглянув на нижние две строчки таблицы, понимаешь, что результаты расчета FuziCalc откровенно озадачивают. В 5-й строке, где представлены результаты расчетов электронной таблицы для разных типов - трапециевидного и колоколообразного - шаблонных распределений, и сумма, и произведение характеризуются небольшим провалом в средней части. Однако совершенно непонятно, откуда вообще может взяться провал в средней части результирующего распределения, когда одна из исходных величин характеризуется плато, а другая - горбом. Никакая разумным образом определенная свертка не может привести к такому результату.
    Последняя же строка таблицы, в которой представлены результаты расчетов с некоторыми произвольными двугорбым и прямоугольным распределениями, показывает, что результаты нечеткого расчета FuziCalc для сложных распределений могут быть весьма далеки от реальности, не иметь с ней почти ничего общего, кроме границ диапазона, в котором изменяется расчетная величина. К сожалению, мне не удалось найти во встро-енных в программу справочниках упоминания о принятой авторами модели операций, алгоритме их выполнения, эта информация относится к know how разработчиков.
    В целом вывод, вытекающий из приведенных расчетов, весьма прост: сложности интерпретации расчетов возникают при отклонении распределений от предлагаемых шаблонов и при смешении их разных типов. Действительно, очень сложно (если вообще возможно) придумать правила операций с нечеткими величинами, которые будут давать разумные результаты в случае всего многообразия возможных распределений. Однако, как показывают приведенные модельные расчеты, на жестко фиксированном классе функций распределения программа работает надежно, как часы.
    Лично мне больше всего нравятся колоколообразные распределения, подобные горбу дромадера (одногорбого верблюда) с обложки известных сигарет, упоминаемых в подзаголовке. Это распределение наиболее близко нормальному, возникающему при описании <физических> неопределенностей и связанному с большим числом независимых случайных событий. Кривая нормального распределения наилучшим образом передает плавность естественных для природы размытых очертаний. Но и другие распределения-шаблоны допустимы.
    FuziCalc предоставляет пользователю больше свободы, чем ему надо. Так что разумно пользуйтесь предоставленным выбором модификации распределений. При проведении расчетов не стремитесь точно отразить свои представления о всей сложности мира (исходных распределений). Напротив, делайте разумные упрощения, старайтесь свои представления о неопределенности исходных величин втиснуть в прокрустово ложе предлагаемых FuziCalc шаблонных распределений нечеткости. Не следует смешивать в рамках одного расчета разные типы распределений.
    Нелинейности
    Банально, но истинно утверждение о том, что мир нелинеен, а в нелинейном мире не работает принцип суперпозиции. Проще говоря, это означает, что целое не равно сумме частей, из которых оно составлено; целое не больше и не меньше его составляющих - оно качественно иное по сравнению с составившими его элементами. Вы уже поняли, что даже на уровне простейших арифметических операций при работе с нечеткими величинами могут возникать неясности. Что уж тогда говорить про сложные связи, нелинейные функции.
    Посмотрим, что происходит в простейшем случае при преобразовании индивидуальных, ни от чего не зависящих распределений. На рис. 5 представлен пример преобразованных распределений нечеткости с помощью синуса и тангенса. В последнем столбце показаны гистограммы истинных преобразованных величин, которые строились в соответствии с уже описанной методикой.
    Даже невооруженным глазом видно различие рассчитанных FuziCalc преобразованных распределений и истинных. Вместе с тем нечеткий расчет правильно отражает качественные изменения, происходящие при нелинейном преобразовании. По приведенному рисунку вы сами можете составить представление, в какой мере FuziCalc отражает действительность, а в какой - нет; степень искажения FuziCalc <реальности> может характеризовать ту точность, с которой вам имеет смысл аппроксимировать исходные распределения нечеткости.
    Так что не относитесь к деталям расчетных распределений как к истине в последней инстанции. Не забывайте, что как и любая другая программа, FuziCalc предлагает только подход к аппроксимации, огрублению действительности.
    Будем считать, что через основные сложности - соответствие нечеткой величины реальности - мы уже продрались, но есть и небольшие <подводные камни>, на которые также стоит обратить внимание.
    Нечеткие отношения
    В отличие от арифметических операции логических отношений документированы. Вы можете выбрать одну из нескольких возможностей (посредством меню: Options, Preferences, Logical values:), сами уточнить их определение. Примем в качестве определения равенства нечетких значений равенство их центроидов - x-координат <центра масс графика> нечеткой зависимости - с точностью 0,01% от значений пределов, в качестве определения операции <больше> или <меньше> - соответствующее отношение между центроидами. Посмотрим на значения отношений (рис. 6). Все распределения характеризуются одинаковыми минимальными и максимальными значениями и, кроме последней строки, одинаковыми оптимальными значениями. Как и следует ожидать в соответствии с выбранными определениями, первые три пары распределений равны, распределения в последней паре не равны. Ситуация же с отношениями <меньше> и <больше> менее очевидна.
    Почему колоколоидальное распределение одновременно и равно, и больше трапециевидного или почему треугольные распределения одновременно и меньше, и больше друг друга? По правде говоря, в случае треугольных распределений я не знаю ответа; мне такой результат кажется откровенным <глюком> программы.
    Очевидно, такой нечеткий, множественный результат отношений между нечеткими величинами противоречит не только интуитивным ожиданиям при отсутствии информации, но и практическим потребностям. Ведь в конечном итоге от программы вам нужна помощь в принятии решения, скажем, купить или не купить объект недвижимости. Хотя в жизни примерно равноценные ситуации не редкость, боюсь, многовариантный ответ - то ли купить, то ли не купить - не многими будет воспринят как существенная помощь. По-моему, надо использовать FuziCalc для оценок распределений нечеткости, а решение оставить за человеком.