Рекурсивное хеджирование

Жабин Дмитрий

Юлдашев Одилжон

Полная версия статьи в PDF


    В статье излагаются основные принципы рекурсивного хеджирования. Рассмотрено применение предложенного метода на примере портфелей, состоящих из опционов и фьючерсов на индексы DAX и SMI. Показано, что дисперсия портфеля при следовании стратегии рекурсивного хеджирования значительно меньше, чем дисперсия портфеля при выборе коэффициента хеджа путем наивного применения модели Блэка-Шоулза.

ВВЕДЕНИЕ

    В современных финансах управление рисками - основополагающая категория в жизнеспособности финансовых институтов. Финансовые инструменты с нелинейной pay-off - функцией являются сложным классом для риск-менеджмента. Наиболее ярко представляют такие инструменты опционы. Большинство современных стратегий хеджирования в качестве инструментов регулярного риск-менеджмента предполагают, что опцион - хеджирующий инструмент. Классическое дельта-хеджирование, использующее принцип риска нейтральности, основано на идеях существования частных производных. Оно великолепно решает проблемы рисков в <мире Блэка-Шоулза>, когда изменения цен базового актива (далее - БА) являются независимыми и идентичными случайными величинами с логнормальной функцией вероятностного распределения. Но, увы, реальная жизнь, как всегда, оказывается сложнее. В этой работе была сделана скромная попытка расширить рамки возможностей классического дельта-хеджирования, применяя подходы стохастического контроля, на примере портфеля из фьючерсов и опционов на индексы DAX и SMI, рассмотрен способ рекурсивного хеджирования и произведено сравнение данного метода с наивным применением модели Блэка-Шоулза для определения коэффициента хеджа (hedge ratio). Анализ показал, что применение рекурсивного хеджирования значительно снижает волатильность рассматриваемого портфеля по сравнению с волатильностью портфеля, составленного при помощи наивного применения модели Блэка-Шоулза.

ПРОБЛЕМА ХЕДЖИРОВАНИЯ И МОДЕЛЬ БЛЭКА-ШОУЛЗА

    В последнее время все чаще в финансовых кругах ведутся разговоры о необходимости хеджирования рыночных рисков, обусловленных волатильностью рыночных активов. Цена производного финансового инструмента по определению существенно зависит от цены БА. Естественным образом встает вопрос: насколько определяющей является эта связь для цены производного финансового инструмента и можно ли использовать ее для получения прибыли и/или управления рыночным риском? В 1973 г. была предложена модель Блэка-Шоулза, которая отвечала на эти вопросы [1]. Для этого авторы модели предположили, что на рынке не существует иных источников неопределенности, кроме <случайного блуждания>, свойственного ценным бумагам. Такое предположение подразумевает, что инвесторы, играющие на бирже, находятся в условиях конкуренции и не могут влиять на состояние рынка, а случайное изменение рыночных котировок имеет такую же природу, что и подбрасывание монеты. Если принять данные предположения, то естественным будет вывод о том, что в результате совершенной конкуренции и, как следствие, оптимального распределения ресурсов рынок стремится к некоторому равновесному положению, а цены ценных бумаг - к справедливым ценам. Таким образом, модель была избавлена от трудностей, связанных с описанием рефлексивного характера действий инвесторов.
    Однако гипотеза о логнормальном поведении БА не подтверждается статистическими тестами, что свидетельствует о более сложной и, возможно, неоднозначной природе рыночных процессов [2]. Более того, на реальном рынке крайне трудно, а порой просто невозможно осуществить непрерывное хеджирование без существенных затрат. Легко показать, что данное ограничение, даже в предположении о логнормальном поведении БА, приводит к выводу, что провести хеджирование с вероятностью, равной единице, затруднительно [3].
    Модель Блэка-Шоулза определяется пятью параметрами: безрисковой процентной ставкой r, волатильностью b, спот-ценой БА S, ценой исполнения E и временем исполнения T. На рис. 1, а приведен пример изменения цен колл-опциона за все время жизни опциона, с момента t = 0 до момента экспирации t = T, рассчитанных по модели Блэка-Шоулза.
    Однако реальность не соответствует модельным предположениям. В частности, величина, характеризующая изменчивость цены базового актива (волатильность), не является константой. Попытки оценки волатильности привели к более сложным моделям ценообразования опционов [4]. Пожалуй наиболее реалистичными моделями являются модели со стохастической волатильностью. В этих моделях волатильность меняется хаотично как с течением времени, так и для разных рыночных цен. Одно только это свойство ценовых рядов, даже если предположить, что все прочие условия модели Блэка-Шоулза соответствуют реальности, существенно изменяет характер ценообразования опциона. На рис. 1, б приведен пример реализации ценообразования опциона в рамках модели Блэка-Шоулза, когда волатильность хаотично меняется около значения b = 20% за время жизни опциона, с момента t = 0 до момента экспирации t = T. Данный пример, несмотря на его <ненаучность>, наглядно демонстрирует появляющиеся сложности при переходе к более реалистичной модели поведения БА.
    Заметим, что поверхность на рис. 1, а является гладкой в отличие от поверхности на рис. 1, б, следовательно, в модели Блэка-Шоулза незначительные отклонения рыночных условий могут привести только к незначительным отклонениям в ценах финансовых инструментов. Данное свойство цены опциона, полученной в рамках модели Блэка-Шоулза, позволяет управлять рыночным риском в портфеле, в который включен опцион и БА. Действительно, если в каждый момент времени в портфеле, состоящим из одного опциона и соответствующего БА, доля БА будет составлять величину тангенса угла наклона касательной к кривой цен в точке рыночной цены БА, то дисперсия такого портфеля в модели Блэка-Шоулза будет равна нулю.
    Очевидно, что для случая стохастической волатильности аналогичный выбор доли БА в портфеле не будет соответствовать оптимальной стратегии управления рыночным риском портфеля, если даже такая касательная будет существовать. Как раз в этом случае на помощь могут прийти методы стохастического контроля.
    Рассмотрим управление рыночным риском на реальных примерах. Откроем <короткую> позицию по опциону (V) на некоторый базовый актив и <длинную> позицию по фьючерсному контракту (F). Поскольку поддержание фьючерсной позиции требует только покрытия маржинального обеспечения, данный портфель позволяет использовать рынок в качестве источника заемных средств. Другими словами, рассмотрим следующий портфель:


    где x - количество (доля) фьючерса.

    С точки зрения здравого смысла оптимальный способ управления рисками - минимизировать изменения портфеля (1). Это полностью соответствует заинтересованности инвестора в том, чтобы стоимость обслуживания такого портфеля с учетом погашения была минимальной, что достигается путем разработки стратегии управления заемными средствами, т. е. выбора способа определения коэффициента хеджа - величины x.


    Рассмотрим один из возможных способов применения модели Блэка-Шоулза к управлению рыночным риском. Из пяти параметров модели Блэка-Шоулза три однозначно определяются рынком и опционным контрактом (S, E, T), оставшиеся два параметра (r и b) нужно определить таким образом, чтобы воспроизвести рыночную стоимость опционного контракта в заданный момент времени. Поскольку для целей, которые преследует данная статья, динамика r оказывается малозначимой, зафиксируем значение процентной ставкой на уровне r = 2,1%, что приблизительно соответствует годовой ставке безрисковой процентной доходности по бондам на бирже EURAX. Тогда в качестве значения волатильности b можно взять подразумеваемую (implied) волатильность bimp, а в качестве коэффициента хеджа - Delta GREEK с поправкой на то, что в портфеле вместо БА участвует фьючерс. Такой способ калибровки модели к рынку для определения коэффициента хеджа будем называть наивным использованием модели Блэка-Шоулза. Результаты расчетов индексов DAX и SMI, торгуемых на EURAX, представлены в третьей колонке табл. 1, 2. Очевидно, что такое наивное использование модели Блэка-Шоулза не решает вопросов хеджирования.

Таблица 1. ODAX, CALL, E = 3900, T= дДекабрь 2003 г., на данныех с 01 по 19 декабря 20.12.03 г. - 19.12.03

Показатель  Параметры ценных бумаг Параметры портфеля
Option Futures Метод Блэк-ШоулзаБШ - hedge Рекурсивный
СКО, %  (%) 52,.12% 0,.79% 40,.30% 0,.06%
размахРазмах, %  (%) 196,.97% 3,.90% 153,.39% 1,.16%

Таблица 2. OSMI, CALL, E = 5500, T= фФевраль 2003 г., на данныех с 05.12.03 - по 16.12 декабря 20.03 г.

Показатель  Параметры ценных бумаг Параметры портфеля
Option Futures Метод Блэк-ШоулзаБШ - hedge Рекурсивный
СКО,%  (%) 15,.502% 0,.662% 8,.204% 0. ,111%
размахРазмах,%  (%) 51,.309% 2,.132% 28,.661% 0,.356%

РЕКУРСИВНОЕ ХЕДЖИРОВАНИЕ



    В реальной торговле мы можем диверсифицировать портфель (1) только в дискретные моменты времени ti, что в значительной степени нивелирует преимущества непрерывного хеджирования. Задача оптимального управления заемными средствами в этом случае может быть сформулирована следующим образом:



    где ||А|| - норма некоторой величины A, индекс i нумерует момент времени ti.
    Напомним, что в модели Блэка - Шоулза в качестве нормы выступает дисперсия.


    Заметим, что на реальном рынке конкуренция несовершенна, а рынок не является полным, поэтому обеспечение хеджирования с вероятностью, равной единице, на практике представляется затруднительным. В современной литературе [5] под оптимальной стратегией хеджирования обычно понимают такой способ хеджирования, когда средняя стоимость хеджирования (т. е. затраты на открытие, закрытие и поддержание всех позиций в рассматриваемом портфеле) равна нулю, а плотность распределения стоимости хеджирования максимально близка нулю. Такой подход более чем оправдан при попытке построения модели ценообразования опциона как хеджирующего инструмента.
    Однако безотносительно к проблеме ценообразования дериватива мы постараемся ответить на вопрос, можно ли так подбирать долю x в портфеле (1), чтобы стоимость портфеля не изменялась с течением времени. Основание для такого подхода служит достаточно простое рассуждение: если мы используем рынок в качестве источника заемных средств, то мы заинтересованы в том, чтобы наш долг, по крайней мене, не изменялся. Из постановки вопроса очевидно, что в качестве нормы в выражении (2) можно выбрать квадрат разности, т. е.
    Предполагая, что в момент времени ti портфель Пi уже каким-то образом составлен, определим, каким должно быть значение xi+1, чтобы в момент времени ti + 1 изменение стоимости портфеля было равным нулю. Решение дается следующей рекуррентной формулой:



    где


    Из (4) легко показать, что на полном рынке при условии непрерывного хеджа оптимальная стратегия хеджирования будет совпадать со стратегией, диктуемой моделью Блэка-Шоулза.
    Некоторые статистические оценки данной стратегии хеджирования и сравнение с результатами наивного хеджирования по методу Блэка-Шоулза приведены для индексов DAX и SMI в табл. 1, 2. В качестве начального значения x0 выбиралось значение коэффициента хеджа, рассчитанного по модели Блэка-Шоулза в начальный момент времени.
    Заметим, что рекурсивное хеджирование дает менее рисковый портфель. Для наглядности изобразим гистограмму функции плотности для разности Пi - П0 на рис. 2
    Более подробное описание статистики для отклонений в стоимости портфеля от начальной стоимости приведено в табл. 3.

Таблица 3. Статистика для . ODAX, CALL, E = 3900, T= дДекабрь 2003 г., на данных с 01 по .12.03 - 19 декабря 20.12.03 г.

Показатель Значение
Среднее 0.033982
Стандартная ошибка 0.021435
Медиана 0
Мода 0
Стандартное отклонение 0.99205
Дисперсия выборки 0.984163
Эксцесс 15.87796
Асимметричность 0.401842
Интервал 18.61991
Минимум -9.10713
Максимум 9.512787
Уровень надежности(95.0%) 0.042036

    Легко заметить, что разница стоимости портфеля в некоторый момент времени относительно его первоначальной стоимости локализована около нуля с модой и медианой, равной нулю.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

    В этой работе на примере портфеля из фьючерсов и опционов на индексы DAX и SMI рассматривается способ рекурсивного хеджирования и сравнивается данный метод с наивным применением модели Блэка-Шоулза для определения коэффициента хеджа (hedge ratio). Анализ показывает, что применение рекурсивного хеджирования значительно снижает волатильность рассматриваемого портфеля по сравнению с волатильностью портфеля, составленного при помощи наивного применения модели Блэка-Шоулза.

    Литература
    1. Black F., Scholes M. The Pricing of Option and Corporate Liabilities. // Journal of Political Economy, 1973. Vol. 81. P. 637-654.
    2. Петерс Э. Хаос и порядок на рынке капитала. М.: Мир, 2000.
    3. Derman. E. When You Cannot Hedge Continuously, The Corrections of Black-Scholes // RISK, 1999. 12-1 Jan. P. 82-85.
    4. Derman. E. The Problem of the Volatility Smile Talk at the Euronext Options // Conference. Amsterdam, 2003. May.
    5. Ayache E., Henrotte P., Nassar S., Wang X.. Can anyone solve the smile problem? // http://www.ito33.com, 2004.

© ЗАО "Группа РЦБ".