Рекурсивное хеджирование
Юлдашев Одилжон
В статье излагаются основные принципы рекурсивного хеджирования. Рассмотрено применение предложенного метода на примере портфелей, состоящих из опционов и фьючерсов на индексы DAX и SMI. Показано, что дисперсия портфеля при следовании стратегии рекурсивного хеджирования значительно меньше, чем дисперсия портфеля при выборе коэффициента хеджа путем наивного применения модели Блэка-Шоулза. |
В современных финансах управление рисками - основополагающая категория в жизнеспособности финансовых институтов. Финансовые инструменты с нелинейной pay-off - функцией являются сложным классом для риск-менеджмента. Наиболее ярко представляют такие инструменты опционы. Большинство современных стратегий хеджирования в качестве инструментов регулярного риск-менеджмента предполагают, что опцион - хеджирующий инструмент. Классическое дельта-хеджирование, использующее принцип риска нейтральности, основано на идеях существования частных производных. Оно великолепно решает проблемы рисков в <мире Блэка-Шоулза>, когда изменения цен базового актива (далее - БА) являются независимыми и идентичными случайными величинами с логнормальной функцией вероятностного распределения. Но, увы, реальная жизнь, как всегда, оказывается сложнее. В этой работе была сделана скромная попытка расширить рамки возможностей классического дельта-хеджирования, применяя подходы стохастического контроля, на примере портфеля из фьючерсов и опционов на индексы DAX и SMI, рассмотрен способ рекурсивного хеджирования и произведено сравнение данного метода с наивным применением модели Блэка-Шоулза для определения коэффициента хеджа (hedge ratio). Анализ показал, что применение рекурсивного хеджирования значительно снижает волатильность рассматриваемого портфеля по сравнению с волатильностью портфеля, составленного при помощи наивного применения модели Блэка-Шоулза.
В последнее время все чаще в финансовых кругах ведутся разговоры о необходимости хеджирования рыночных рисков, обусловленных волатильностью рыночных активов. Цена производного финансового инструмента по определению существенно зависит от цены БА. Естественным образом встает вопрос: насколько определяющей является эта связь для цены производного финансового инструмента и можно ли использовать ее для получения прибыли и/или управления рыночным риском? В 1973 г. была предложена модель Блэка-Шоулза, которая отвечала на эти вопросы [1]. Для этого авторы модели предположили, что на рынке не существует иных источников неопределенности, кроме <случайного блуждания>, свойственного ценным бумагам. Такое предположение подразумевает, что инвесторы, играющие на бирже, находятся в условиях конкуренции и не могут влиять на состояние рынка, а случайное изменение рыночных котировок имеет такую же природу, что и подбрасывание монеты. Если принять данные предположения, то естественным будет вывод о том, что в результате совершенной конкуренции и, как следствие, оптимального распределения ресурсов рынок стремится к некоторому равновесному положению, а цены ценных бумаг - к справедливым ценам. Таким образом, модель была избавлена от трудностей, связанных с описанием рефлексивного характера действий инвесторов.
Однако гипотеза о логнормальном поведении БА не подтверждается статистическими тестами, что свидетельствует о более сложной и, возможно, неоднозначной природе рыночных процессов [2]. Более того, на реальном рынке крайне трудно, а порой просто невозможно осуществить непрерывное хеджирование без существенных затрат. Легко показать, что данное ограничение, даже в предположении о логнормальном поведении БА, приводит к выводу, что провести хеджирование с вероятностью, равной единице, затруднительно [3].
Модель Блэка-Шоулза определяется пятью параметрами: безрисковой процентной ставкой r, волатильностью b, спот-ценой БА S, ценой исполнения E и временем исполнения T. На рис. 1, а приведен пример изменения цен колл-опциона за все время жизни опциона, с момента t = 0 до момента экспирации t = T, рассчитанных по модели Блэка-Шоулза.
Однако реальность не соответствует модельным предположениям. В частности, величина, характеризующая изменчивость цены базового актива (волатильность), не является константой. Попытки оценки волатильности привели к более сложным моделям ценообразования опционов [4]. Пожалуй наиболее реалистичными моделями являются модели со стохастической волатильностью. В этих моделях волатильность меняется хаотично как с течением времени, так и для разных рыночных цен. Одно только это свойство ценовых рядов, даже если предположить, что все прочие условия модели Блэка-Шоулза соответствуют реальности, существенно изменяет характер ценообразования опциона. На рис. 1, б приведен пример реализации ценообразования опциона в рамках модели Блэка-Шоулза, когда волатильность хаотично меняется около значения b = 20% за время жизни опциона, с момента t = 0 до момента экспирации t = T. Данный пример, несмотря на его <ненаучность>, наглядно демонстрирует появляющиеся сложности при переходе к более реалистичной модели поведения БА.
Заметим, что поверхность на рис. 1, а является гладкой в отличие от поверхности на рис. 1, б, следовательно, в модели Блэка-Шоулза незначительные отклонения рыночных условий могут привести только к незначительным отклонениям в ценах финансовых инструментов. Данное свойство цены опциона, полученной в рамках модели Блэка-Шоулза, позволяет управлять рыночным риском в портфеле, в который включен опцион и БА. Действительно, если в каждый момент времени в портфеле, состоящим из одного опциона и соответствующего БА, доля БА будет составлять величину тангенса угла наклона касательной к кривой цен в точке рыночной цены БА, то дисперсия такого портфеля в модели Блэка-Шоулза будет равна нулю.
Очевидно, что для случая стохастической волатильности аналогичный выбор доли БА в портфеле не будет соответствовать оптимальной стратегии управления рыночным риском портфеля, если даже такая касательная будет существовать. Как раз в этом случае на помощь могут прийти методы стохастического контроля.
Рассмотрим управление рыночным риском на реальных примерах. Откроем <короткую> позицию по опциону (V) на некоторый базовый актив и <длинную> позицию по фьючерсному контракту (F). Поскольку поддержание фьючерсной позиции требует только покрытия маржинального обеспечения, данный портфель позволяет использовать рынок в качестве источника заемных средств. Другими словами, рассмотрим следующий портфель:
С точки зрения здравого смысла оптимальный способ управления рисками - минимизировать изменения портфеля (1). Это полностью соответствует заинтересованности инвестора в том, чтобы стоимость обслуживания такого портфеля с учетом погашения была минимальной, что достигается путем разработки стратегии управления заемными средствами, т. е. выбора способа определения коэффициента хеджа - величины x.
Таблица 1. ODAX, CALL, E = 3900, T= дДекабрь 2003 г., на данныех с 01 по 19 декабря 20.12.03 г. - 19.12.03
Показатель | Параметры ценных бумаг | Параметры портфеля | ||
Option | Futures | Метод Блэк-ШоулзаБШ - hedge | Рекурсивный | |
СКО, % (%) | 52,.12% | 0,.79% | 40,.30% | 0,.06% |
размахРазмах, % (%) | 196,.97% | 3,.90% | 153,.39% | 1,.16% |
Таблица 2. OSMI, CALL, E = 5500, T= фФевраль 2003 г., на данныех с 05.12.03 - по 16.12 декабря 20.03 г.
Показатель | Параметры ценных бумаг | Параметры портфеля | ||
Option | Futures | Метод Блэк-ШоулзаБШ - hedge | Рекурсивный | |
СКО,% (%) | 15,.502% | 0,.662% | 8,.204% | 0. ,111% |
размахРазмах,% (%) | 51,.309% | 2,.132% | 28,.661% | 0,.356% |
Из (4) легко показать, что на полном рынке при условии непрерывного хеджа оптимальная стратегия хеджирования будет совпадать со стратегией, диктуемой моделью Блэка-Шоулза.
Некоторые статистические оценки данной стратегии хеджирования и сравнение с результатами наивного хеджирования по методу Блэка-Шоулза приведены для индексов DAX и SMI в табл. 1, 2. В качестве начального значения x0 выбиралось значение коэффициента хеджа, рассчитанного по модели Блэка-Шоулза в начальный момент времени.
Заметим, что рекурсивное хеджирование дает менее рисковый портфель. Для наглядности изобразим гистограмму функции плотности для разности Пi - П0 на рис. 2
Более подробное описание статистики для отклонений в стоимости портфеля от начальной стоимости приведено в табл. 3.
Таблица 3. Статистика для . ODAX, CALL, E = 3900, T= дДекабрь 2003 г., на данных с 01 по .12.03 - 19 декабря 20.12.03 г.
Показатель | Значение |
Среднее | 0.033982 |
Стандартная ошибка | 0.021435 |
Медиана | 0 |
Мода | 0 |
Стандартное отклонение | 0.99205 |
Дисперсия выборки | 0.984163 |
Эксцесс | 15.87796 |
Асимметричность | 0.401842 |
Интервал | 18.61991 |
Минимум | -9.10713 |
Максимум | 9.512787 |
Уровень надежности(95.0%) | 0.042036 |
Легко заметить, что разница стоимости портфеля в некоторый момент времени относительно его первоначальной стоимости локализована около нуля с модой и медианой, равной нулю.
В этой работе на примере портфеля из фьючерсов и опционов на индексы DAX и SMI рассматривается способ рекурсивного хеджирования и сравнивается данный метод с наивным применением модели Блэка-Шоулза для определения коэффициента хеджа (hedge ratio). Анализ показывает, что применение рекурсивного хеджирования значительно снижает волатильность рассматриваемого портфеля по сравнению с волатильностью портфеля, составленного при помощи наивного применения модели Блэка-Шоулза.
Литература
1. Black F., Scholes M. The Pricing of Option and Corporate Liabilities. // Journal of Political Economy, 1973. Vol. 81. P. 637-654.
2. Петерс Э. Хаос и порядок на рынке капитала. М.: Мир, 2000.
3. Derman. E. When You Cannot Hedge Continuously, The Corrections of Black-Scholes // RISK, 1999. 12-1 Jan. P. 82-85.
4. Derman. E. The Problem of the Volatility Smile Talk at the Euronext Options // Conference. Amsterdam, 2003. May.
5. Ayache E., Henrotte P., Nassar S., Wang X.. Can anyone solve the smile problem? // http://www.ito33.com, 2004.