Некоторые характеристики рынка опционов в FORTS

    Фьючерсная торговля в России имеет более чем десятилетнюю историю. Опционный рынок возник почти одновременно с фьючерсным, однако до недавнего времени заметной роли не играл. Торги опционами велись на ТМБ "Гермес", МЦФБ, Санкт-Петербургской фьючерсной бирже и непродолжительное время на ММВБ. С учетом этой ретроспективы опционная торговля в рамках срочного рынка Фондовой биржи РТС - преемника срочного рынка Фондовой биржи "Санкт-Петербург" - впервые достигла значимых уровней ликвидности и открытых позиций и продолжает развиваться быстрыми темпами, особенно в последнее время (рис. 1).
    В настоящее время в FORTS обращаются два опционных контракта - на фьючерсы на акции РАО "ЕЭС России" и акции "Газпрома". В основном пока торгуются опционы на ближайший по дате исполнения фьючерс на акции РАО "ЕЭС России". Для расчетов использовались итоги торгов фьючерсами на акции РАО "ЕЭС России" с исполнением 17 марта 2003 г. и опционами на эти фьючерсы за период 15.12.02 г. - 14.02.03 г.
    Как известно, в FORTS применяется способ котировки фьючерсов и опционов за весь объем базисного актива, в частности, фьючерсы на акции РАО "ЕЭС России" котируются в рублях за 1000 акций. Опционы на фьючерсы являются американскими, шаг между страйками составляет 500 руб.1
    Всего за указанный период было совершено около 5000 сделок с опционами. Распределение оборотов по отдельным сериям показано на рис. 2. Сопоставим каждой опционной сделке фьючерсную сделку, непосредственно предшествующую ей во времени. Временные сдвиги между такими сделками характеризуют неравномерность торговой активности во времени (рис. 3), и эта асинхронность вносит свою погрешность в последующие результаты. По мере роста интенсивности операций указанная погрешность будет уменьшаться.
    Следующий шаг состоит в расчете опционной волатильности (implied volatility), т.е. волатильности, при подстановке которой в теоретическую формулу стоимости опциона или численный метод получается фактическая цена сделки2. В качестве теоретического способа расчета был взят метод Кокса - Росса - Рубинштейна с процентной ставкой r = 10%.
    Результаты расчета опционных волатильностей для опционов колл и пут на страйке 4500 представлены на рис. 4. По горизонтальной оси отложено время как количество рабочих дней до даты экспирации опционов (точнее, торговых сессий, причем в ходе торговой сессии время выражается дробным числом). Отдельные точки на графике образуют "облако", для анализа которого приходится прибегать к усреднению. Этот разброс обусловлен в том числе отмеченной выше асинхронностью фьючерсных и опционных цен. Если усреднить отдельные точки гладкой кривой, как показано на рис. 4, то волатильности опционов колл и пут оказываются распределенными приблизительно симметрично относительно этой кривой. Впоследствии будем использовать значения на полученной кривой как единую опционную волатильность обеих серий на страйке 4500.
    Если аналогичным образом обработать все торгуемые опционные серии, то срезы сглаженных кривых на определенный момент времени дают так называемую кривую волатильности (volatility curve) для этого момента. На рис. 5 показаны кривые волатильности для двух дней, отстоящих от даты экспирации на указанные сроки (кривые даются на середины соответствующих торговых сессий). Эти кривые имеют типичную форму улыбки волатильности (volatility smile) - левая и правая ветви кривой приподняты. Неодинаковость опционных волатильностей на разных страйках показывает, что участники торгов при выставлении котировок явно или неявно ориентируются на иную модель движения цены. Тем самым биномиальный способ расчета цен опционов в рассматриваемом случае, строго говоря, не применим. На первый взгляд, единственной пользой от проведенных расчетов является только этот отрицательный результат, а к полученным опционным волатильностям подходит известное "определение": "the wrong number to put into the wrong formula to obtain the correct price" (Цит. по: Rebonato R. Volatility and Correlation. 1999).
    Существуют подходы к тому, как по наблюдаемым ценам опционов подобрать более адекватную модель движения цены базисного актива. В частности, параболообразные кривые волатильности, такие как изображены на рис. 5, означают, что трейдеры ориентируются на дневные колебания цены с более "тяжелыми хвостами", чем у логнормального (нормального) распределения. Асимметрия кривой волатильности - большая приподнятость одного края по сравнению с другим - приводит к асимметричным распределениям дневных колебаний цены, у которых вероятность скачка цены базисного актива больше в ту сторону, где опционные волатильности выше.
    Однако данный способ учета реальных цен опционов достаточно сложен и выглядит более абстрактным, чем непосредственный учет кривых волатильности (или поверхностей волатильности, если одновременно торгуются опционы с различными датами исполнения). В данном случае биномиальный метод представляется наиболее подходящим, однако и формула Блэка с процентной ставкой r=0 дает достаточно близкие с практической точки зрения результаты.
    Рассмотрим типичные ежедневные (день за днем) изменения кривой волатильности. Этот анализ может быть полезен с точки зрения как выработки торговых стратегий, так и оценки рисков позиции. Естественно предположить, что при движении цены базисного актива кривая волатильности в первом приближении смещается параллельно вправо или влево вслед за ценой (см.: Коннолли К. Покупка и продажа волатильности. 2001). На рис. 6 показаны график цены базисного фьючерса и его сглаженный вариант. Кроме того, для каждого момента времени дана точка Хmin, в которой кривая волатильности типа изображенных на рис. 5 достигает минимума. Видно, что в целом Хmin следует за сглаженной ценой базисного фьючерса Fсглаж.
    Наряду с горизонтальными сдвигами меняется и общий уровень кривой волатильности, который можно характеризовать высотой ее нижней точки Ymin (рис. 7). Этот уровень можно отслеживать приблизительно в темпе реального времени с помощью индикатора опционной волатильности VES, по смыслу являющегося волатильностью опционов вблизи денег. В ходе торгов очередная сделка по опциону входит в расчет индикатора, если выполнены следующие условия:

опцион колл: Ei - Fi <=1000 или Fi - Ei<=500;

опцион пут: Ei - Fi <=500 Fi - Ei<=1000,
    где Ei - страйк; Fi - фьючерсная цена в момент сделки.
    Для такой сделки рассчитывается опционная волатильность si и затем обновляется значение индикатора:
    VESi = vi/wi, (1)
    где a = 0,98; n0, w0 = 0.
    Наиболее значительные дневные изменения кривой волатильности происходят на отрезке нисходящего тренда фьючерсной цены приблизительно между 45-м и 30-м днем до даты экспирации. На рис. 8 для примера показаны три кривые:

кривая волатильности для 38-го дня до даты экспирации;

кривая волатильности для 37-го дня до даты экспирации;

результат горизонтального и вертикального сдвигов первой из указанных кривых:

горизонтального - на величину изменения цены базисного фьючерса (влево на 115);

вертикального - на такую величину, чтобы достичь наилучшего совпадения с кривой 37-го дня во всех страйках (вверх на 0,7).
    Благодаря двум указанным перемещениям результирующая кривая располагается значительно ближе к кривой волатильности 37-го дня, чем исходная кривая 38-го дня. Оптимальный вертикальный сдвиг обычно близок к изменениям Ymin.
    Поскольку горизонтальные сдвиги кривой волатильности "привязаны" к движениям фьючерсной цены, возникает возможность уточнить прогноз стоимости опциона. Рассмотрим опцион С4500 за 38 дней до экспирации, когда фьючерсная цена равна 3940 (рис. 9). Опционная волатильность этой серии равна 42,6%. Если рассчитать стоимость опциона при этой постоянной волатильности, то получается тонкая кривая, обозначенная "sigma_0=42,6". График "sigma=sigma (F)" построен с учетом того, что при движении фьючерсной цены кривая волатильности будет сдвигаться параллельно вправо-влево и опционная волатильность на страйке 4500 будет из-за этого меняться приблизительно вдоль касательной АА на рис. 8. При снижении фьючерсной цены кривая волатильности будет смещаться влево, опционная волатильность на страйке 4500 будет возрастать, поэтому стоимость опциона будет больше, чем для постоянной волатильности, равной 42,6%. При движении цены фьючерса вверх эффект будет обратным.
    Уточненный график стоимости опциона имеет коэффициенты дельта и гамма, заметно отличающиеся от рассчитанных по стандартной методике при постоянной волатильности. Это непосредственно видно из рис. 9, 10, последний из которых получен поворотом каждого из графиков рис. 9 относительно точки А на угол, задаваемый соответствующим коэффициентом дельта, для получения дельта-нейтральной позиции.
    Результаты уточнения коэффициентов дельта и гамма (см. рис. 9, 10) получены подстановкой в метод расчета стоимости опциона аналитической аппроксимации пунктирной кривой из рис. 8. Коэффициент дельта может быть скорректирован и более простым способом. Для этого необходимо рассчитать:

стандартный коэффициент дельта для постоянной волатильности;

коэффициент чувствительности стоимости опциона к волатильности: Vega = 4,63;

степень наклона касательной АА в точке 4500, т.е. изменение опционной волатильности вдоль линии АА при смещении в точку 4501: c = 0,015.
    Скорректированный коэффициент дельта вычисляется по формуле:
    D = D - Vega c = 0,24 - 4,63 0,015 = 0,17. (2)
    Рассмотрим пример использования скорректированных коэффициентов. Предположим, что фьючерсная цена меняется в соответствии со сглаженной кривой (см. рис. 6) и за 38 дней до даты экспирации сформирована дельта-нейтральная позиция: куплено 100 опционов С4500 и продано 17 фьючерсов. График "sigma=sigma (F)" на рис. 10 как раз показывает стоимость этой позиции в расчете на один опцион. В дальнейшем, при изменении фьючерсной цены и цены опциона, ежедневно определяется новая опционная волатильность, по формуле 2 рассчитывается новый коэффициент дельта и корректируется фьючерсная позиция для поддержания дельта-нейтральности. Результат операции приведен в таблице.

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
Дней до экспирации	Цена фьючерса	Цена С4500	Опционная волатильность,. %	Фьючерсная позиция	Стоимость портфеля	Изменение 1	Погрешность сдвига	Гамма фактор	Тета фактор	Вега фактор	Изменение 2	Изменение 3
38	3940	83	42,6	-17	8300	0		0	0	0	0	0
37	3825	68	45,4	-12	8755	455	1.2	196	-252	575	519	1260
36	3726	60	48,6	-10	9143	843	1.5	311	-492	1176	995	2341
35	3665	53	50,2	-10	9053	753	0.4	341	-733	1306	914	2739
34	3568	43	52,4	-8	9023	723	0.4	416	-969	1437	884	3291
33	3573	43	52,8	-9	8983	683	0.5	416	-1181	1561	796	3226
32	3635	48	52,4	-11	8925	625	0.7	445	-1400	1750	795	2920
31	3695	53	51,7	-12	8765	465	0.0	482	-1638	1767	610	2520
30	3711	52	51,6	-12	8473	173	0.1	486	-1897	1796	385	2164

Стоимость портфеля с учетом накопленной вариационной маржи по фьючерсам показана в графе 6. Графа 7 отмечает изменение стоимости портфеля по отношению к начальной. Если портфель действительно является дельта-нейтральным, то изменения его стоимости не должны зависеть от направления движения цены фьючерса, а должны определяться суммарным влиянием следующих факторов:

"гамма-фактора", 0,5Г (dF)2,
где Г - коэффициент гамма, dF- изменение фьючерсной цены за период между ежедневными коррекциями фьючерсной позиции; в графе 9 этот фактор дан нарастающим итогом (аналогично в графах 10-13);

"тета-фактора", т.е. уменьшения стоимости опциона с течением времени, определяемого коэффициентами тета Q для каждого из дней (графа 10);

"вега-фактора", т.е. изменения стоимости позиции в зависимости от уровня опционной волатильности. Уточненный коэффициент дельта рассчитан на линейную зависимость опционной волатильности от фьючерсной цены вдоль линии АА (графа 10). Однако между таким линейным прогнозом и реально наблюдаемой опционной волатильностью возникает рассогласование, вызванное нелинейностью кривой волатильности, ее общими вертикальными сдвигами, а также локальными колебаниями в отдельно взятом страйке. Данное рассогласование на страйке 4500 (графа 8) для всех дней оказалось положительным, что внесло положительный вклад в стоимость опционов (графа 11).
В данном примере волатильность сглаженной цены фьючерса оказалась близка к 30%, что меньше опционных волатильностей в графе 4. По этой причине гамма-фактор не компенсирует тета-фактор, однако благодаря повышению общего уровня кривой волатильности суммарный итог всех трех факторов оказывается положительным (графа 12). С учетом дискретности фьючерсной позиции и того, что сами коэффициенты чувствительности лишь приблизительно ("в малом") описывают колебания стоимости портфеля, числа в графах 7 и 12 достаточно близки.
Для сравнения: в последней графе даны величины, рассчитанные так же, как и в графе 7, однако с использованием стандартного коэффициента дельта. Поскольку в этом случае короткая позиция по фьючерсам больше (например, в первый день операции не 17, а 24), возникает чувствительность позиции к направлению движения фьючерсной цены. В данном конкретном примере цена фьючерса падала, и это положительно сказалось на стоимости портфеля. Однако целью операции было формирование дельта-нейтральной позиции, безрисковой по отношению к направлению движения цены фьючерса, и эта цель не была достигнута.