Анализ применимости различных моделей расчета value at risk на российском рынке акций

    В настоящее время банки стран <Группы 10> получили возможность использовать собственные модели расчета показателя рисковой стоимости VaR для определения размера капитала, резервируемого под рыночный риск торгового портфеля.
    Основные положения данного подхода были рассмотрены в предыдущей статье [1]. В данной статье на примере case-study анализируется возможность непосредственного применения подхода VaR для российского фондового рынка.
    Результаты тестирования некоторых наиболее распространенных моделей по методике Базельского комитета позволяют выбрать метод расчета VaR и период наблюдений, наиболее подходящие для российских условий.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ

    Настоящее исследование имеет целью сравнительный анализ прогнозной точности и эффективности применения различных моделей расчета величины VaR на российском фондовом рынке.
    Здесь и далее под <моделью> понимается конкретный метод расчета показателя VaR вместе со значениями соответствующих параметров. Методологической основой исследования послужил подход, предложенный А. Финком, Л. Йоханнингом и Б. Рудольфом [2].1
    На практике широко используются три базовых метода расчета величины VaR:

ковариационный;

историческое моделирование;

статистические испытания по Монте-Карло.
    В данной работе рассматриваются лишь первые два из указанных методов, поскольку результаты, полученные с помощью ковариационного метода и метода Монте-Карло, оказываются весьма близкими для инструментов с линейными ценовыми характеристиками и нормальным распределением доходности факторов риска.
    В настоящем исследовании анализируются шесть моделей расчета VaR с общим временным горизонтом прогнозирования (t = 1 день), доверительным интервалом (1 - a = 99%) и различными периодами наблюдений (N).
    Каждый метод представлен моделями с краткосрочным (N = 30 дней) и среднесрочным (N = 250 дней) периодами наблюдений, а также с кумулятивно увеличивающимся периодом наблюдений (для метода исторического моделирования) и с экспоненциальным сглаживанием стандартного отклонения (для ковариационного метода). В последней модели по аналогии с системой RiskMetrics параметр сглаживания (l = 0,94) соответствует эффективному периоду наблюдений около 75 дней [5. P. 100]. Кумулятивно увеличивающийся период наблюдений рассчитывается как количество дней торгов с начала функционирования рынка до текущего дня. Минимальная длительность такого периода наблюдений составляет 100 дней.
    В качестве источника ценовых данных был выбран рынок российских акций в РТС как наиболее ликвидный организованный фондовый рынок в России, непрерывно функционирующий с 1995 г.
    Интервал времени, на котором производилось тестирование моделей, охватывает период с 1 сентября 1995 г. (момент начала торгов в РТС) по 3 декабря 1999 г., что составляет в общей сложности 1053 дня торгов. Дополнительно все модели были протестированы на четырех последовательных подинтервалах, охватывающих различные фазы колебаний рынка за период с января 1997 г. по декабрь 1999 г. При расчете величины VaR ковариационным методом использовались логарифмические приращения средних дневных цен акций.
    Для формирования портфелей были выбраны наиболее ликвидные ценные бумаги: обыкновенные акции РАО <ЕЭС России>, ОАО <Иркутскэнерго>, ОАО <НК ЛУКОЙЛ>, ОАО <Мосэнерго>, РАО <Норильский никель>, РАО <Ростелеком> и ОАО <Сургутнефтегаз>.
    На первом этапе при помощи генератора случайных чисел была сгенерирована 1000 гипотетических портфелей, каждый из которых представлял собой набор из семи случайных величин, равномерно распределенных на интервале [-1; 1]. Каждая случайная величина отражает ненормированный вес соответствующей акции в портфеле, при этом знак <-> означает позицию на продажу по данной ценной бумаге, а знак <+> - позицию на покупку3. Структура каждого портфеля является постоянной на протяжении всего интервала тестирования моделей.
    Затем для каждого портфеля с использованием каждой из шести моделей были рассчитаны величины рисковой стоимости по всем дням из интервала тестирования за исключением первых N дней.
    После усреднения результатов по 1000 портфелей для каждой модели было установлено количество дней, когда фактические убытки, вызванные изменением стоимости портфеля, превышали прогнозную величину VaR, рассчитанную в предыдущий день. Кроме того, были определены средние значения этих превышений как процент от величины VaR.
    Сравнительный анализ моделей в дальнейшем производился на основе следующих критериев:

минимальное расхождение между фактически наблюдаемым и теоретическим доверительным интервалом модели;

минимальное относительное превышение фактическими убытками прогнозной величины VaR;

минимальная надбавка к нормативному множителю.

ФАКТИЧЕСКИ НАБЛЮДАЕМЫЕ ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ИНТЕРВАЛЫ МОДЕЛЕЙ

    Для оценки прогнозной точности модели необходимо сначала установить, действительно ли случаи превышения фактическими убытками прогнозных значений рисковой стоимости происходят с заданной частотой в 1%. На рис. 1 приведены графики плотности нормального распределения и частотного распределения изменений индекса фондового рынка, построенного по семи входящим в портфели акциям за период с сентября 1995 г. по декабрь 1999 г.
    Визуальное сравнение показывает, что распределение изменений индекса характеризуется лептокуртозисом, т.е. имеет более <толстые хвосты> и более <высокую вершину>, чем у нормального распределения.
    Это наблюдение позволяет предположить, что ковариационный метод, основанный на посылке о нормальном распределении доходностей факторов риска, должен давать менее точные результаты, чем метод исторического моделирования, который опирается на реально наблюдавшиеся изменения цен. Данная гипотеза находит свое подтверждение в результатах исследования, приведенных в табл. 1.

Период тестирования	Ковариационный метод, %			Метод исторического моделирования, %
Период тестирования	N= 250 дней	N= 30 дней	Экспонен-циальное сглаживание s	N= 250 дней	N= 30 дней	Кумулятивный период наблюдений
Сентябрь 1995 г. - декабрь 1999 г. (1053 дня)	95,17	94,21	93,98^-	99,09⁺	96,36	98,61
Январь 1997 г. - сентябрь1997 г. (186 дней)	95,37	94,28^-	96,09	97,76⁺	96,21	97,14
Сентябрь 1997 г. - апрель 1998 г. (123 дня)	93,99^-	95,00	94,26	98,79⁺	96,72	97,5
Май 1998 г. - декабрь 1998 г. (168 дней)	90,10	93,46	86,77^-	99,99⁺	96,95	99,97
Январь 1999 г. - декабрь 1999 г. (230 дней)	98,89	94,31^-	97,35	99,63	96,01	99,89⁺

    Полученные результаты следует анализировать как по применяемым моделям, так и по различным фазам рынка.
    Из таблицы следует, что метод исторического моделирования с периодом наблюдений N = 250 дней обеспечивает средний доверительный интервал, наиболее близкий к заданным 99%, как на протяжении всего периода тестирования, так и почти во всех фазах рынка. Единственным исключением является период с января по декабрь 1999 г., для которого наименьшую частоту превышений убытками величины VaR демонстрирует модель с кумулятивно увеличивающимся периодом наблюдений. Этот результат может быть объяснен изменениями в характере развития рынка в 1999 г., а также наибольшей длительностью периода наблюдений в данной модели, что дает возможность учитывать поведение цен в различных фазах рынка.
    Модели на базе ковариационного метода характеризуются самыми значительными отклонениями частоты превышений величины VaR от заданного 1% случаев. В частности, на всем интервале тестирования модель с экспоненциальным сглаживанием стандартного отклонения обеспечивает доверительный интервал 93,98%, что является наихудшим результатом для всех рассматриваемых моделей. В период сильного спада рынка с мая по декабрь 1998 г. фактическое покрытие убытков величиной VaR в этой модели составляет лишь 86,77%.
    Весьма близким значением фактического доверительного интервала (90,1%) для данной фазы рынка характеризуется ковариационный метод с N = 250 дней. Это самые неудовлетворительные результаты по всем рассматриваемым моделям и фазам рынка. Невысокая точность моделей на основе ковариационного метода может быть объяснена их низкой чувствительностью к резким изменениям волатильности рынка в фазах резкого роста или падения рынка.
    Таким образом, ковариационный метод, основанный на свойствах нормального распределения, является значительно менее эффективным для оценки рисков на российском рынке акций, чем метод исторического моделирования.
    На рис. 2, 3 представлены распределения частот фактически наблюдаемых доверительных интервалов для рассматриваемых шести моделей по 1000 портфелей на всем интервале их тестирования. В общем случае точность модели будет тем выше, чем у?же распределение и чем правее оно расположено.
    Как следует из графиков, распределение частот для метода исторического моделирования с N = 250 дням сильнее смещено вправо к отметке 99% по сравнению с остальными моделями. Кроме того, данное распределение характеризуется также и наименьшим размахом (около 2%).
    Напротив, распределение частот для ковариационного метода с N = 30 дням является значительно более <широким>, чем у остальных моделей. Таким образом, из всех рассмотренных моделей ковариационный метод с N = 30 дням обеспечивает не только наименьший наблюдаемый доверительный интервал, но и характеризуется самой большой неточностью (разбросом) в оценке рисковой стоимости портфелей.

ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ПРЕВЫШЕНИЯ УБЫТКАМИ ПРОГНОЗНОЙ ВЕЛИЧИНЫ VаR

Для определения размера превышений реально наблюдаемыми убытками прогнозной величины VaR для каждого портфеля были рассчитаны отрицательные дневные отклонения стоимости портфеля (в % от величины VaR предшествующего дня), которые затем были усреднены по общему количеству таких случаев превышения, имевших место в течение рассматриваемого интервала тестирования.
Полученные значения были агрегированы по всем портфелям для нахождения средней величины превышений по каждой модели и интервалу тестирования, которые приведены в табл. 2.

Период тестирования	Ковариационный метод, %			Метод исторического моделирования, %
Период тестирования	N= 250 дней	N= 30 дней	Экспонен-циальное сглаживание s	N= 250 дней	N= 30 дней	Кумулятивный период наблюдений
Сентябрь 1995 г. - декабрь 1999 г. (1053 дня)	53,4	56,6	65,79^-	43,06⁺	52,01	44,82
Январь 1997 г. - сентябрь1997 г. (186 дней)	45,23	70,07	51,79	47,17	80,43^-	44,78⁺
Сентябрь 1997 г. - апрель 1998 г. (123 дня)	53,66	60,35^-	57,65	40,22⁺	51,19	54,7
Май 1998 г. - декабрь 1998 г. (168 дней)	64,11	56,99	97,29^-	0,14	33,12	0,13⁺
Январь 1999 г. - декабрь 1999 г. (230 дней)	25,23	51,81	52,02^-	10,22	48,75	1,09⁺

    Данные таблицы показывают, что относительные величины превышений убытков над прогнозной величиной VaR в большинстве случаев оказываются весьма значительными. Этот факт обусловлен более высокой волатильностью российского фондового рынка по сравнению с развитыми рынками, где этот показатель обычно не превышает 10%.
    Тем не менее по данному критерию метод исторического моделирования вновь оказывается более точным, чем ковариационный метод.
    Так, на всем интервале тестирования минимальный размер превышений (43,06%) характерен для модели на основе метода исторического моделирования с периодом наблюдений в 250 дней. В то же время для всех рассматриваемых фаз рынка (за исключением периода с октября 1997 г. по апрель 1998 г.) бо?льшую точность обеспечивает модель с кумулятивно увеличивающимся периодом наблюдений.

СРЕДНИЕ НАДБАВКИ К НОРМАТИВНОМУ МНОЖИТЕЛЮ

Для оценки сравнительной эффективности моделей по критерию минимизации капитала, резервируемого под рыночный риск, было проведено поквартальное тестирование моделей за период с января 1997 г. по ноябрь 1999 г. Тестирование проводилось в соответствии с требованиями Базельского комитета по банковскому надзору [1, 6] с целью определения гипотетических средних надбавок к нормативному множителю. (Поскольку в России подход на основе внутренних моделей не применяется, данное тестирование носит условный характер и проводится для отнесения моделей к одной из зон адекватности.) Результаты расчетов приведены в табл. 3, случаи попадания моделей по результатам тестирования в <красную>, <желтую> или <зеленую> зону выделены соответствующим тоном.

Квар-тал	Период тестирования	Ковариационный метод, %			Метод исторического моделирования, %
		N= 250 дней	N= 30 дней	Экспонен-циальное сглаживание s	N= 250 дней	N= 30 дней	Кумулятивный период наблюдений
I	Январь 1997 г. - декабрь 1997 г.	0,90	0,94	0,65	0,22	0,87	0,41
II	Апрель 1997 г.- март 1998 г.	0,99	0,99	0,90	0,37	0,81	0,75
III	Июль 1997 г. - июнь 1998 г.	1,00	0,99	1,00	0,39	0,80	0,73
IV	Октябрь 1997 г. - сентябрь 1998 г.	1,00	1,00	1,00	0,35	0,67	0,60
V	Январь 1997 г.- декабрь 1998 г.	1,00	1,00	1,00	0,05	0,72	0,19
VI	Апрель 1998 г. - март 1999 г.	1,00	1,00	1,00	0	0,63	0
VII	Июль 1998 г. - июнь 1999 г.	1,00	1,00	1,00	0	0,74	0
VIII	Октябрь 1998 г. - сентябрь 1999 г.	1,00	0,91	1,00	0	0,78	0
IX	Январь 1999 г. - ноябрь 1999 г.	0,76	0,93	0,80	0	0,78	0
	Январь 1997 г. - ноябрь 1999 г.	1,00	1,00	1,00	0,10	0,97	0,24

Полученные результаты, отражающие сравнительную эффективность моделей, подтверждают сделанные ранее выводы:

Чем выше фактически наблюдаемый доверительный интервал, тем меньшей оказывается надбавка к множителю. Как видно из таблицы, все модели на основе ковариационного метода попадают в <красную> зону и признаются неадекватными как для большинства подпериодов, так и для всего периода тестирования в целом.

Совершенно иная картина наблюдается при использовании метода исторического моделирования: по итогам тестирования не было зафиксировано ни одного случая дисквалификации построенных на нем моделей. Более того, метод исторического моделирования с N = 250 дням и кумулятивно увеличивающимся периодом наблюдений обнаруживает полную адекватность в последние четыре квартала. Наименьшую среднюю надбавку к множителю (0,1) для всего периода тестирования обеспечивает модель на основе метода исторического моделирования c N = 250 дням. Как и в предыдущем случае, эта модель оказывается наиболее подходящей для условий российского рынка акций.

ВЫВОДЫ И РЕКОМЕНДАЦИИ

Данное исследование является попыткой частичной оптимизации параметров распространенных за рубежом моделей оценки рыночных рисков для применения на российском фондовом рынке.
Полученные результаты могут непосредственно использоваться для построения и тестирования систем риск-менеджмента в российских финансовых институтах, а также служить отправной точкой для исследований по другим рынкам.

Проведенный анализ позволяет сделать вывод о том, что для горизонта прогнозирования в 1 день и доверительного интервала в 99% метод исторического моделирования, особенно с периодом наблюдений в 250 дней, дает более точную оценку рыночного риска портфелей российских акций, чем ковариационный метод. Эта закономерность проявляется при сравнении результатов, полученных с помощью различных моделей, одновременно по нескольким различным критериям.

Тем самым подтверждается предположение о невыполнении на российском рынке акций базовой посылки ковариационного метода, постулирующей логнормальный закон распределения изменений цен. Модели расчета VaR на основе ковариационного метода оказываются неадекватными (по критериям Базельского комитета) для оценки возможных потерь как в <нормальных> фазах рынка, характеризующихся спокойной динамикой цен, так и в кризисные периоды.

На российском фондовом рынке модели со среднесрочным (N = 250 дней) или долгосрочным периодами наблюдений в целом обеспечивают значительно большую точность расчета величины VaR, чем модели с краткосрочным периодом наблюдений. Характерно, что Базельский комитет (в рамках подхода на основе внутренних моделей) не разрешает банкам использовать модели с краткосрочным (менее 250 дней) периодом наблюдений для расчета величины капитала, резервируемого под рыночный риск [1, 6].
Приведенные рекомендации будут справедливы только для моделей с 99%-ным доверительным интервалом. При выборе иного значения доверительного интервала ситуация может в корне измениться: в частности, для доверительного интервала в 95% ковариационный метод обычно дает завышенную оценку VaR по сравнению с методом исторического моделирования. Это наблюдение можно обосновать графически, см. рис. 1: в области 95%-ной квантили график реальных изменений индекса расположен ниже графика плотности нормального распределения.

    Литература
    1. Лобанов А. Регулирование рыночных рисков банков на основе внутренних моделей расчета VaR // РЦБ. 2000. № 9. С. 63-66.
2. Fink A., Johanning L., Rudolph B. Zur Prognosegu..te alternativer VaR-Verfahren im Aktienbereich // Solutions. 1999. Jahrgang 3, Ausgabe 1. S. 25-33.     3. Лобанов А. Проблема метода при расчете value at risk // РЦБ. 2000. № 21. С. 54-58.
    4. Лобанов А., Филин С., Чугунов А. Риск-менеджмент. Ч. 1 // РИСК. 1999. № 4. С. 43-52.
5. J. P. Morgan/Reuters. RiskMetrics - technical do-cument. Fourth Edition. NY, 1996. 6. Supervisory framework for the use of in conjunction with the internal models approach to market risk capital requirements. Basle Committee on Banking Supervision. 1996. January.

Адрес авторов: risklab@rea.ru