Достаточно часто финансовые институты проводят активные операции на рынках производных инструментов, руководствуясь своим пониманием текущей ситуации на рынке и видением ее дальнейшего развития.
    При этом задача заключается в том, чтобы на основе имеющегося прогноза выбрать из множества доступных альтернатив тот финансовый инструмент, который принесет максимальную прибыль. Получение прибыли, однако, неразрывно связано с риском, поэтому при формировании портфеля необходимо следить за величиной его риска.
    Для контроля уровня риска необходимо знать, чему он равен. В качестве этой величины мы будем рассматривать значение, получаемое с помощью методики оценки риска VaR.
    Аргументация в пользу использования именно данной методики состоит в том, что VaR постепенно становится стандартом при измерении риска изадача контроля уровня риска как задача контроля значения VaR заслуживает, на наш взгляд, внимания.
    Напомним, что VaR - это величина, при которой потери в стоимости портфеля за определенный период времени с заданной вероятностью (уровень достоверности) не превысят этой величины.
    Решим задачу максимизации ожидаемой прибыли финансовых операций для фиксированного уровня риска при наличии прогноза для случая операций на рынке опционов.

    При проведении операций на основе прогноза на рынках производных инструментов использование фьючерсов, форвардов и подобных им инструментов имеет некоторые недостатки.
    Во-первых, при использовании фьючерсов и форвардов возможны существенные финансовые потери, если прогноз, на основе которого проводились операции, оказался ошибочен, так как ограничения на максимально возможные потери отсутствуют.
    Во-вторых, наличие фьючерсной позиции требует от инвестора постоянного контроля за состоянием торгового счета и при необходимости своевременного внесения дополнительных залоговых средств. Если на рынке произойдет сильное неблагоприятное колебание цены, то возможна ситуация, когда инвестор не сможет поддержать требуемый уровень залоговых средств и будет вынужден ликвидировать свои позиции, понеся убытки, хотя в итоге его прогноз может оправдаться.
    При использовании опционов таких проблем нет. Потери при неблагоприятной конъюнктуре рынка ограниченны, дополнительных затрат после приобретения опциона не возникает, отсутствует необходимость в постоянном контроле состояния торгового счета. Кроме этого, если допустить, что имелся бы абсолютно достоверный прогноз, то максимально возможная прибыль от владения опционом, как правило, была бы выше прибыли от владения фьючерсом или форвардом при одной и той же сумме начальных инвестиций. Недостаток использования опционов заключается в том, что их приобретение требует определенных начальных затрат.

    Прежде чем приступить к формулировке задачи, сделаем ряд начальных предположений:
    1. В качестве инструмента измерения риска используется VaR.
    2. На рынке имеется множество опционов с любыми сроками и ценами исполнения; все опционы выписаны на единственный актив S. Стоимость опционов правильно оценивается формулой Блэка-Шоулза (Black-Scholes).
    3. Прогноз цены актива S в момент времени t задается в виде функции нормального распределения pt(m, d), с математическим ожиданием m (наиболее вероятное значение цены актива в момент t) и стандартным отклонением d (погрешность в точности прогноза).

    Допустим, что финансовый институт обладает капиталом K и имеет прогноз pt(m, d) относительно цены актива в момент времени t.
    Без ущерба общности будем считать, что согласно прогнозу ожидается повышение цены и что разрешена только покупка опционов, тогда для максимизации прибыли, очевидно, надо приобретать опционы колл (call).
    В момент t0 = 0 на рынке в обращении находятся опционы колл с различными ценами исполнения Xi и сроками исполнения Tj.
    Задача состоит в выборе опционов, которые в момент t принесут максимальный доход на вложенный капитал. Так как в прогнозе всегда присутствует неточность (d ? 0), то реальное значение цены St в момент t может отличаться от m.
    Поэтому существует риск потери вложенного капитала, если стоимость опциона в момент t окажется меньше, чем в момент t0.
    Спрашивается, сколько опционов колл, с какими параметрами надо приобрести для максимизации ожидаемой прибыли на вложенный капитал при условии, что вероятность потери доли капитала b не превысит уровень a?

    Решим сначала задачу максимизации прибыли на основе прогноза без учета риска портфеля.
    Задача выбора самого рентабельного опциона сводится к нахождению решения для следующей целевой функции:

f(X, T) = Ct(X, T - t, m)/C0(X, T, S0) ? maxX, T,     где С - цена опциона со страйком Х и временем исполнения T.

    Можно показать, что максимума функция f достигает при следующих значениях Xopt, Topt:

Topt = min{Tj};     Xopt является решением следующего уравнения:
Ct/C0 = exp(rt)[N(dt2)/N(d02)], (1)     где N(d) - кумулятивная функция нормального распределения;
    r - безрисковая процентная ставка, а d2 определяется согласно формуле Блэка-Шоулза.

    Анализ поведения целевой функции f показывает, что если ожидаемая доходность от владения активом S за время t при прогнозе p превосходит безрисковую ставку r (это наиболее естественный случай), то на интервале X к (0, X*), где X* - решение уравнения (1), целевая функция f монотонно возрастает, а на интервале X к (X*, ) монотонно убывает (рис. 1). Этот результат существенно облегчает решение задачи максимизации прибыли при учете риска.
    Приведем графики зависимости оптимального решения от значений m и t на примере американского фондового индекса S&P. Как видно из рис. 2, 3, значение оптимальной цены исполнения опциона может быть в зависимости от параметров прогноза как ниже, так и выше начальной цены актива S0.
    Покажем привлекательность использования опционов при наличии прогноза на следующем примере. Значение индекса S&P на конец января равнялось

    S0 = 1220. При двухмесячном прогнозе m = 1300 оптимальное решение состояло бы в покупке опциона со сроком исполнения в марте со страйком X = 1215. Цена такого опциона равнялась в тот момент C = 45. Если бы прогноз реализовался, то капитал от проведения операции увеличился бы в 1,86 раза.

    Сформулируем решение задачи максимизации прибыли.
    При наличии прогноза pt(m, d) для максимизации прибыли на вложенный капитал необходимо приобретать опционы со сроком исполнения, максимально приближенным к дате прогноза. В идеальном случае время исполнения опциона должно совпадать со временем прогноза.
    После того как срок исполнения опционов определен, выбирается опцион, цена исполнения которого удовлетворяет уравнению (1). Опцион с полученным таким образом временем исполнения и ценой исполнения является решением поставленной задачи.

    Обратимся теперь к вопросу управления риском портфеля, составленному согласно решению задачи предыдущего пункта. Риск такого портфеля заключается в возможном несовпадении ожидаемой в соответствии с прогнозом цены и фактическим ее значением в момент t. Риск можно оценивать с помощью параметра d, задаваемого в прогнозе: чем больше d, тем больше риск. Будем использовать в качестве измерения риска значение VaR. Чтобы вычислить VaR для интервала времени t и уровня достоверности (1 - a), надо знать, какую величину изменение стоимости портфеля не превышает с вероятностью a. Для этого, используя функцию распределения pt(m, d) прогноза цены в момент t, найдем значение цены S* такое, чтобы выполнялось условие:

    тS0pt(u)du = a.

    Потребуем, чтобы значение VaR не превышало некоторой фиксированной доли b < 1 от начальной стоимости портфеля, что означает готовность потерять с некоторой вероятностью долю b начального капитала ради получения возможной прибыли в случае реализации прогноза. Можно показать, что это равносильно выполнению следующего неравенства:

Ct(X, S*)/C0(X, S0) > (1 - b). (2)

    Данное неравенство не содержит переменной h, поэтому при оценке риска необходим контроль только за выбором параметров опциона, но не за их количеством! Количество опционов тогда определяется делением величины начального капитала при покупке опционов на стоимость опциона с оптимальной ценой исполнения.
    Неравенство (2) накладывает ограничение на выбор страйка в задаче максимизации прибыли, если учитывать ограничение величины риска портфеля.
    Как показано выше, функция f возрастает при возрастании X от нуля до X*, определяемого уравнением (1), а при возрастании X от X* до бесконечности значение функции монотонно уменьшается до нуля. Учитывая это, получаем решение задачи максимизации прибыли при фиксированном уровне риска.
    При наличии прогноза pt(m, d) решение задачи максимизации прибыли на вложенный капитал при условии, что с вероятностью a возможные потери не превысят b доли начального капитала, следующее.
    Ищется оптимальное решение задачи максимизации прибыли без учета риска Topt = min{Tj}, X* удовлетворяет решению уравнения (1). Ищется максимальное значение Xmax, при котором выполняется неравенство (2). Если X* < Xmax, то Xopt = X* - оптимальное решение задачи, иначе оптимальному решению соответствует значение Xopt = Xmax. Полученные значения {Xopt, Topt} являются параметрами оптимального опциона.

    Решение задачи максимизации прибыли при операциях на основе прогноза для рынка опционов обнаруживает существование вполне определенной оптимальной цены и времени исполнения опциона.
    Применение инструмента оценки риска - VaR позволяет контролировать риск таких операций. Оказывается, что введение в задачу максимизации прибыли ограничения в виде контроля над риском портфеля качественно не меняет оптимального решения. В зависимости от значения параметра b (доли допустимых потерь) ограничение по риску или оставляет оптимальное решение задачи неизменным, или оптимальная цена исполнения опциона равна максимальному значению, при котором еще выполняется ограничение по риску.
    Расширить данную задачу можно, как видится автору, рассмотрев случай, когда имеется неточность не только в прогнозе ожидаемого значения цены, но и во времени реализации прогноза.