Прежде чем приступить к формулировке задачи, сделаем ряд начальных предположений:
    1. В качестве инструмента измерения риска используется методика VAR.
    2. Хеджер в своей деятельности подвергается риску возможного неблагоприятного изменения цены на единственный актив. Таким активом могут быть цена на нефть, процентная ставка по кредиту, стоимость инвестиционного портфеля, фондовый индекс и т.д.
    3. Цена актива является случайной величиной, и ее изменение во времени описывается следующим стохастическим дифференциальным уравнением

    dS = mSdt + sSdz, (1)
    где S - цена актива; m - ожидаемый темп ее роста; s - волатильность цены актива; z - переменная, изменение которой следует стандартному винеровскому процессу: dz = e?-dt; (e - значение случайной величины со стандартным нормальным распределением).

    Данное уравнение наиболее часто используется для описания поведения рыночных цен и хорошо описывает динамику цен товарных и фондовых рынков, динамику процентных ставок. Это же уравнение используется при выводе формулы стоимости опционов2.
    4. Для управления риском хеджер использует опционы. Без нарушения общности мы можем рассматривать случай, когда используются европейские опционы на продажу (put option), т.е. случай, когда хеджер стремится застраховаться от падения цены на базовый актив.
    5. Стоимость опционов оценивается формулой Блэка-Шоулза (Black-Scholes). Как показывает практика, данное предположение обоснованно в большинстве случаев, а расхождение между фактической ценой опциона и теоретической у ликвидных инструментов лежит в пределах рыночного спрэда между ценами покупки и продажи.

    Пусть хеджер владеет активом S и желает застраховаться от неблагоприятной рыночной конъюнктуры. Неблагоприятная конъюнктура для хеджера заключается в возможном падении цены актива, вследствие чего он может понести убытки. Для минимизации возможных убытков хеджер готов затратить определенную сумму денег на приобретение опционов на продажу, которые в случае падения цены актива в момент t ограничат потери хеджера.
    Для этого в начальный момент t = 0, когда цена актива равна S0, приобретаются европейские опционы на продажу с ценой страйк Х в количестве h штук, которые исполняются в момент t. (Под ценой страйк мы подра-зумеваем цену исполнения опциона.) Защищенность хеджера от потерь определяется страйком опциона. В нашем случае чем выше страйк, тем большую защиту обеспечивают опционы. Но с увеличением страйка стоимость опционов также растет.
    Постановка решаемой задачи такова: с каким страйком и в каком количестве хеджеру необходимо приобрести опционы, чтобы при затрате фиксированной суммы денег С на приобретение опционов минимизировать значение VAR своего портфеля для момента времени t?

    Определим сначала, чему равно значение VARt портфеля, состоящего из одной единицы акти-ва S. Напомним, мы предполагаем, что изменение цены актива описывается уравнением (1). Тогда, как известно, значение цены подчиняется логнормальному распределению:

    St ~ [1/? -2psSt]exp[(-lnSt - m)2/2s2] = f(St),
    где m = lnS0 + (m - s2/2)t, s = s? -t.

    При отсутствии хеджа значение VAR для уровня достоверности 1 - a определяется следующим образом:

    VAR = S0 - S*,
    где значение цены S* таково, что вероятность того, что St < S*, не превышает a.

    S* определяется уравнением
    тS*0 f(St)dSt = N[(lnS* - m)/s] = a, S* = exp[sN-1(a) + m], где N(u) - кумулятивная функция нормального распределения, а N-1 - обратная к ней функция.

    У владельца портфеля имеется возможность его хеджирования при помощи опционов на продажу (типа пут) на актив S со сроком исполнения t и различными страйками. Pt = P(St, X, r, t, s) - цена опциона в момент t, где X - цена страйк опциона, r - безрисковая процентная ставка.
    Хеджированное значение стоимости портфеля в момент t определяется уравнением:

    Vt = St + hmax(X - St, 0) = max[hX + (1 - h)St, St],
    где h - коэффициент хеджирования, т.е. доля приобретенных опционов относительно количества актива S в портфеле хеджера.

    Рассмотрим случай, когда h < 1, все результаты которого по непрерывности могут быть продолжены и для h = 1.
    Функция распределения стоимости хеджированного портфеля Vt в момент t зависит от того, исполняется опцион или нет. Выражение для плотности функции распределения имеет вид:

		   (1/? -2psVt)exp[-(lnVt - m)2/2s2],  Vt > X
f(Vt) = {[1/? -2ps(Vt - hX)]exp{[-(ln(Vt - hX) - 
		    - ln(1 - h) + m)2]/2s2},  hX < Vt < X
		    0,  Vt < X,
а значения V* и VAR равны:
V* = (1 - h)S0exp[sN-1(a) + (m - s2/2)t] + hX = 
= (1 - h)S0exp(q(a)) + hX,
VAR = V0 - V* = S0 - V*.	(2)

    Данная формула вычисления VAR верна в предположении, что X > S*. Очевидно, что в реальных условиях хеджа это всегда так. Можно показать, что выбор опциона со страйком меньше S* неэффективен, так как не влияет на величину VAR.
    Как видно из уравнения, оценка VAR является убывающей функцией от h и X. Но увеличение X и h увеличивает стоимость хеджа.
    Пусть C = hP - стоимость хеджа и C постоянна. Соответствующая задача оптимизации формулируется следующим образом:

    VARt = S0 - [(1 - h)S0exp(q(a)) + hX] ? minX, h,hP = C = const. (3)

    Заменяя в целевой функции аргумент h = C/P, получим, что решение задачи оптимизации соответствует цене:

    Xopt = argmax[X - Sexp(q(a))/P]. (4)

    Как видно из полученного выражения, выбор оптимального страйка не зависит от стоимости хеджа C.
    То есть независимо от величины суммы, которая тратится на хедж, оптимальный страйк всегда один и тот же.
    Отсюда можно сделать вывод, что коэффициент хеджирования h определяется просто делением суммы, выделенной на хедж, на стоимость опциона с оптимальным страйком. Для нахождения значения оптимального страйка приравняем к нулю первую производную:

{P - [X - S0exp(q(a))]
P/
X}/P2 = 0	v
(заменяя по формуле Блэка-Шоулза 
P = Xexp(-rt)N(d1) - SN(d2))
v   N(d2)/N(d1) = exp[q(a) - rt].	(5)
Напомним выражения для параметров d1 и d2 модели Блэка-Шоулза:
d1 = [ln(X/S) - (r - s2/2)t]/(s? -t), 
d2 = d1 - s? -t.

    Таким образом, значение оптимального страйка соответствует решению уравнения (5).
    Напомним, что данный результат получен в предположении, что h < 1. На практике это условие обычно выполняется, так как суммы, выделяемые на хеджирование, ограниченны. Если h > 1, то выражение (2) для VAR некорректно и его вычисление несколько сложнее. Можно показать, что оптимальное решение в этом случае соответствует значению h = 1, а оптимальный страйк соответствует цене опциона P(X) = C.
    Таким образом, общее решение задачи минимизации VAR при фиксированной стоимости затрат на хедж следующее:

    Рассмотрим в качестве примера российского экспортера нефти.
    Экспортер стремится застраховаться от возможного падения цен на нефть и приобретает опционы на продажу нефти, например, на американской бирже NYMEX.
    Пусть интервал времени, для которого считается значение VAR, равен одному месяцу, уровень достоверности равен 97,5% (a = 2,5%). Текущее значение цены на нефть - S = 20,00 долл. за баррель. Волатильность равна 25%, ожидаемый темп роста m = 10%. Безрисковая процентная ставка равняется 5%. (Эти данные близки к историческим.)
    Значение VAR нехеджированного портфеля равня-ется тогда 2,54 долл. на баррель. То есть с вероятностью 97,5% потери хеджера не превысят за один месяц 2,54 долл. с каждого барреля нефти.
    Допустим теперь, что владелец портфеля готов потратить на его хеджирование сумму C = 0,04 долл. на каждый баррель. В этом случае согласно уравнению (5) оптимальному решению соответствует опцион со страйком X = 18,02 долл. (ближайшим биржевым страйком будет, очевидно, 18,00 долл.). Цена такого опциона (как теоретическая, так и с приемлемой точностью наблюдаемая) равняется P = 0,04 долл., и коэффициент хеджирования равен h = 1. Значение VAR, соответствующее оптимальному решению, равно: VARmin = 1,98 долл.
    Таким образом, затратив на хеджирование только 0,2% от стоимости портфеля (0,04 долл. от 20,00 долл.), хеджер уменьшает свой риск на 22% на один месяц.
    Зависимость оптимального страйка и значения VAR от затрат на хедж приведена в таблице и рисунке.

    Как видно из рисунка, пока C < 0,04, коэффициент хеджирования меньше единицы и решение находится с помощью уравнения (5); при C = 0,04 коэффициент хеджирования достигает единицы и далее значение оптимального страйка находится как страйк опциона, стоимость которого равна затратам на хедж.
    Отметим также следующий факт: увеличивая C, можно добиться того, чтобы значение VAR равнялось нулю. Это соответствует ситуации полного хеджирования (h = 1) опционом, страйк которого совпадает с текущей ценой на нефть. Затраты на такой хедж составляют 2,68% от стоимости портфеля.

    Решение задачи для хеджера показывает, что во множестве альтернатив между выбором коэффициента хеджирования и ценой исполнения опциона при фиксированном уровне затрат на хедж существует единственное оптимальное решение. При этом оказывается, что оптимальная цена исполнения опциона не зависит от уровня затрат на хедж (вплоть до уровня полного хеджирования).
    В настоящий момент в России отсутствует биржевой рынок опционов, но отечественные компании сегодня могут получить доступ на международные рынки производных инструментов. Автор надеется, что приведенный пример послужит для российских компаний стимулом к изучению возможностей использования опционов в своей деятельности.