Классическое решение проблемы управления процентным риском портфеля ценных бумаг с фиксированным доходом дается в рамках теории иммунизации. Однако оно не может быть признано исчерпывающим по целому ряду причин.
    Во-первых, инвестор может столкнуться с проблемой недоступности финансовых инструментов, соответствующих его сроку вложений. Дело в том, что иммунизация является недостижимой, если дюрации всех финансовых инструментов, обращающихся на рынке, превышают срок вложений инвестора. Поэтому на многих рынках при размещении средств на срок в несколько недель иммунизацию вообще невозможно осуществить.
    Во-вторых, стремление к полному устранению процентного риска присуще лишь части инвесторов, осуществляющих операции на рынке ценных бумаг с фиксированным доходом. Для остальных инвесторов выбор структуры портфеля зависит от соотношения между ожидаемой доходностью и уровнем процентного риска.
    В-третьих, теория иммунизации предлагает способ защиты от единовременных сдвигов временной структуры процентных ставок. Поскольку на реальных рынках колебания процентных ставок происходят постоянно, сохранение портфеля в иммунизированном состоянии требует осуществления многочисленных ребалансировок, в ходе которых структура портфеля приводится в соответствие с новым состоянием рыночной конъюнктуры. Однако стратегия частых ребалансировок сопряжена с чрезмерно высоким уровнем трансакционных издержек, что делает ее неприемлемой для большинства инвесторов. Отказ от проведения ребалансировок подвергает иммунизированный портфель процентному риску, что означает недостижение цели, поставленной при его формировании.
    В-четвертых, в процессе управления портфелем ценных бумаг с фиксированным доходом многие инвесторы учитывают собственные предположения о направлении будущих изменений процентных ставок. Теория иммунизации не предлагает никакого инструмента поддержки принятия решений, позволяющего определять структуру оптимального портфеля на основе информации о характере прогнозов инвестора, его склонности к риску и предполагаемых сроках вложений.
    Поэтому изучение проблемы выбора структуры портфеля ценных бумаг с фиксированным доходом должно выходить за рамки теории иммунизации. По нашему мнению, одно из наиболее перспективных направлений исследования лежит на пути использования аппарата теории игр.

    Представим проблему выбора структуры оптимального портфеля в форме игры с природой, определив множество стратегий инвестора как множество вариантов формирования портфеля, а множество состояний природы - как множество возможных комбинаций периодов времени, через которые инвестору могут потребоваться денежные средства, со сценариями перемещения временной структуры процентных ставок. Каждой комбинации структуры портфеля и состояния природы соответствует определенное значение доходности, которое можно рассчитать по формуле:

hp(m, q) = SJj=1xjhj(m, q), (1)
    где hp(m, q) - доходность портфеля при сроке вложений m и реализации сценария перемещения временной структуры процентных ставок q; xj - доля вложений в облигации выпуска j в рыночной стоимости портфеля; hj - доходность облигации выпуска j.

    Выигрыш инвестора при реализации различных состояний природы представляет собой разность между доходностью портфеля hp(m, q) и ставкой спот s(m), установившейся в момент его формирования. Полезность выигрыша определяется отношением инвестора к процентному риску. Большинство инвесторов отрицательно относятся к процентному риску, и для них увеличение выигрыша на заданную величину ЖR ведет к меньшему изменению уровня полезности, чем снижение выигрыша на ту же величину ЖR. Согласно теории полезности фон Неймана-Моргенштерна функция полезности, отражающая стремление к избежанию риска, характеризуется положительным значением первой производной и отрицательным значением второй производной на всей области определения, соответствующей возможным значениям выигрыша.
    Воспользуемся функцией полезности вида

U[hp(m, q), s(m)] = 1 - e-w[hp(m, q) - s(m)], w >0. (2)
    Функция вида f(x) = 1 - e-wx обладает двумя полезными свойствами, позволяющими использовать ее для моделирования отношения к процентному риску на рынке ценных бумаг с фиксированным доходом. Во-первых, она отражает неприятие риска. В самом деле,
f'(x) = we-wx > 0 " x, w > 0; (3)
f''(x) = -w2e-wx < 0 " x, w > 0. (4)

    Во-вторых, она позволяет учитывать различие степени неприятия риска у различных инвесторов. Чем больше значение параметра w, тем выше степень неприятия риска.
    Структура портфеля, обеспечивающего максимальное среднее значение уровня полезности, зависит от вероятностей отзыва средств из портфеля через различные сроки и вероятностей реализации различных сценариев перемещения временной структуры процентных ставок. Для ее определения необходимо решить задачу оптимизации

Smmaxm=mmin SQq=1[1 - e-w(SJj=1hj(m, q)xj - s(m))]p(m)p(q) ? max; (5)
SJj=1xj = 1; (6)
xj > 0, j = 1, J, (7)
    где mmin - минимальная продолжительность периода вложений, mmax - максимальная продолжительность периода вложений;
    Q - число рассматриваемых сценариев перемещения временной структуры процентных ставок; p(m) - вероятность отзыва средств из портфеля через период времени m; p(q) - вероятность реализации сценария сдвига временной структуры процентных ставок с порядковым номером q.

    Определяя вероятности p(m), инвестор формализует свои оценки предполагаемого срока вложений. Определяя вероятности p(q), инвестор формализует свои оценки предполагаемых изменений временной структуры процентных ставок. Параметр w отражает склонность инвестора к процентному риску. Таким образом, модель (5)-(7) представляет собой инструмент поддержки принятия решений, позволяющий регулировать структуру портфеля на основе информации о предполагаемых сроках вложений, характере прогнозов инвестора и его склонности к процентному риску.

    Чтобы проанализировать сравнительную значимость различных факторов, влияющих на выбор инвестора, был проведен эксперимент по определению структур оптимальных портфелей при различных возможных значениях параметров p(m), p(q) и w. Предполагалось, что портфель формируется 16 марта 2000 г. из финансовых инструментов, обращающихся на российском рынке ГКО/ОФЗ.
    Для изучения влияния изменения срока вложений на структуру оптимального портфеля рассматривались три возможных ситуации: сверхкраткосрочный период вложений с ожидаемой продолжительностью две недели и вероятностью сроков отзыва средств через m недель p(1) = 0,25, p(2) = 0,5, p(3) = 0,25; краткосрочный период вложений с ожидаемой продолжительностью четыре недели и вероятностью сроков отзыва средств p(3) = 0,25, p(4) = 0,5, p(5) = 0,25; среднесрочный период вложений с ожидаемой продолжительностью шесть недель и вероятностью сроков отзыва средств p(5) = 0,25, p(6) = 0,5, p(7) = 0,25.
    Для изучения влияния характера прогноза инвестора на структуру оптимального портфеля рассматривались три возможных варианта прогнозов, при которых наиболее вероятными считаются сценарии падения процентных ставок, сохранения их значений на неизменном уровне, а также роста ставок после формирования портфеля. Для изучения влияния склонности к риску на структуру оптимального портфеля использовались три возможных значения параметра w, равные 0,5, 1 и 2.
    По результатам расчетов были определены структуры 27 портфелей, в наилучшей степени отвечающие специфике различных инвесторов - их срокам вложений, прогнозам и склонности к риску. Структуры оптимальных портфелей оказались плохо диверсифицированными. Это обусловлено тем, что изменения цен облигаций определяются общими факторами. Регулируя структуру портфеля, инвестор может изменять его чувствительность к сдвигам процентных ставок и ожидаемую доходность, но практически не может уменьшать степень риска за счет включения в состав портфеля финансовых инструментов, доходности которых слабо (или отрицательно) коррелированы между собой.
    Оценка сравнительной значимости различных факторов, определяющих величину дюрации оптимального портфеля, производилась при помощи регрессионной модели с фиктивными переменными, определения которых даны в таблице.

    В результате было получено следующее уравнение зависимости между дюрацией оптимального портфеля и фиктивными переменными, отражающими индивидуальные особенности инвестора:

D = 0,79 - 0,06S + 0,11L + 0,60F - 0,48G + 0,57R - 0,29N; R2 = 0,79 (8)

    Все коэффициенты регрессии имеют ожидаемые знаки (bS < 0, bL > 0, bF > 0, bG < 0, bR > 0, bN < 0). Однако, как свидетельствуют значения t-статистик, приведенные в скобках под уравнением регрессии, не все из них являются статистически значимыми. Наибольшим уровнем значимости характеризуются коэффициенты при фиктивных переменных, отражающих характер прогнозов инвестора (оба из них значимы на 1%-м уровне). Коэффициент регрессии при фиктивной переменной, идентифицирующей инвесторов с низкой степенью неприятия процентного риска, также значим на 1%-м уровне. Меньшим уровнем значимости (10%) характеризуется коэффициент при переменной, идентифицирующей инвесторов с высокой степенью неприятия процентного риска. Коэффициенты при переменных, отражающих предполагаемую продолжительность периода вложений, вообще не являются статистически значимыми.

    Полученные результаты позволяют сделать заключение о том, что важнейшим фактором, определяющим размер дюрации оптимального портфеля при осуществлении краткосрочных рисковых вложений, является характер прогнозов инвесторов. Большое значение имеет и степень неприятия процентного риска. Чем сильнее степень уверенности инвестора в падении уровня процентных ставок в ближайшем будущем и чем больше его готовность рисковать, тем больше дюрация портфеля, который лучше всего соответствует его индивидуальным характеристикам. Срок вложений является значимым фактором выбора оптимальной структуры портфеля при рассмотрении более длительных сроков вложений, существенно превышающих несколько недель.